§2.7函数与方程考点函数的零点与方程的根11.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1答案Ay=cosx是偶函数,且存在零点;y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.12.(2013安徽,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是()A.3B.4C.5D.6答案Af'(x)=3x2+2ax+b,则x1,x2为f'(x)=0的两不等根.即3(f(x))2+2af(x)+b=0的解为f(x)=x1或f(x)=x2.不妨设x11时,f(x)的图象如图所示,当b∈(a2,a3]时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=,x2=.综上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞).15.(2012陕西,21,14分)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间内存在唯一零点;(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围;(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,xn,…的增减性.解析(1)证明:b=1,c=-1,n≥2时,fn(x)=xn+x-1.∵fn·fn(1)=×1<0,∴fn(x)在内存在零点.又当x∈时,fn'(x)=nxn-1+1>0,∴fn(x)在上是单调递增的,∴fn(x)在内存在唯一零点.(2)当n=2时,f2(x)=x2+bx+c.对任意x1,x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下:(i)当>1,即|b|>2时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾.(ii)当-1≤-<0,即0
