第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=√2a,则()A.a>bB.a0,∴a>b.方法三:由c=√2a,得sinC=√2sinA.∴sin120°=√2sinA.∴sinA=√64>12.又∠A+∠B=60°,∴∠A>30°,∴∠A>∠B.∴a>b.答案A2在△ABC中,已知AB=√3,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积等于()A.√32B.√34C.√32或√3D.√32或√34解析1sin30°=√3sinC,∴sinC=√32. 0°<∠C<180°,∴∠C=60°或∠C=120°.(1)当∠C=60°时,∠A=90°,∴BC=2,此时,S△ABC=√32;1(2)当∠C=120°时,∠A=30°,S△ABC=12×√3×1×sin30°=√34.答案D3一艘海轮从A处出发,以40nmile/h的速度沿东偏南50°方向直线航行,30min后到达B处,在C处有一座灯塔,如果海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.10√2nmileB.10√3nmileC.20√2nmileD.20√3nmile解析如图所示,由已知条件可得,∠CAB=30°,∠ABC=105°,AB=40×12=20(nmile).∴∠BCA=45°.∴由正弦定理,可得ABsin45°=BCsin30°.∴BC=20×12√22=10√2(nmile).答案A4在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且ab=√3,则∠C的值为()A.45°B.60°C.90°D.120°解析由b2+c2-bc=a2,得b2+c2-a2=bc,∴cosA=b2+c2-a22bc=12,∴∠A=60°.又ab=√3,∴sinAsinB=√3,2∴sinB=√33sinA=√33×√32=12,∴∠B=30°,∴∠C=180°-∠A-∠B=90°.答案C5在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若S△ABC=b2+c2-a24,则∠A的大小为()A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析由S△ABC=b2+c2-a24=12bcsinA,得sinA=b2+c2-a22bc=cosA,所以∠A=π4.答案B6如图,在四边形ABCD中,若∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于()A.√3B.5√3C.6√3D.7√3解析连接BD,在△BCD中,BC=CD=2,∠BCD=120°,∴∠CBD=30°,BD=2√3,S△BCD=12×2×2×sin120°=√3.在△ABD中,∠ABD=120°-30°=90°,AB=4,BD=2√3,∴S△ABD=12AB·BD=12×4×2√3=4√3,∴四边形ABCD的面积是5√3.答案B37在△ABC中,若cos(2B+C)+2sinAsinB=0,则△ABC一定是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形解析 cos(2B+C)=cos(B+π-A)=-cos(B-A)=-cosAcosB-sinAsinB,∴cos(2B+C)+2sinAsinB=-cosAcosB+sinAsinB=0,即cos(A+B)=0.∴∠A+∠B=π2.答案C8设△ABC的内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且∠A>∠B>∠C,3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC为()A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4解析由题意,设a=b+1,c=b-1,∴3b=20acosA=20(b+1)b2+c2-a22bc=20(b+1)·b2+(b-1)2-(b+1)22b(b-1),整理得7b2-27b-40=0,解得b=5,可知a=6,c=4.结合正弦定理,可得sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4.答案D9△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若直线bx+(a-c)y+1=0与直线(a-b)x-(a+c)y+1=0垂直,则∠C的大小为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析由两直线垂直,得b(a-b)-(a-c)(a+c)=0,即a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2+b2-c22ab=12,故∠C=π3.答案B10在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,已知8b=5c,∠C=2∠B,则cosC=()A.725B.-7254C.±725D.2425解析由正弦定理bsinB=csinC及8b=5c,∠C=2∠B,可得bsinB=85b2sinBcosB,解得cosB=45.则cosC=cos2B=2cos2B-1=2×(45)2-1=725.答案A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在△ABC中,若a2+b2
