阶段通关训练(三)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是()【解析】选A.加速过程,路程对时间的导数逐渐变大,图象下凸;减速过程,路程对时间的导数逐渐变小,图象上凸,故选A.2.(2016·枣庄高二检测)若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,0)D.(-1,0)【解析】选C.f′(x)=4x3-1,设P(x0,y0),则f′(x0)=4-1=3.所以x0=1,y0=f(1)=1-1=0,所以点P的坐标为(1,0).3.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]【解析】选C.当x∈(0,1]时,得a≥-3-4+,令t=,则t∈[1,+∞),a≥-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞),则g′(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),显然在[1,+∞)上,g′(t)<0,g(t)单调递减,所以g(t)max=g(1)=-6,因此a≥-6.同理,当x∈[-2,0)时,1有a≤-3-4+.令t=,则t<-.令g(t)=-3t3-4t2+t,则g′(t)=-(t+1)(9t-1),显然当-10,t<-1时,g′(t)<0,故g(t)≥g(-1)=-2,得a≤-2.由以上两种情况得-6≤a≤-2,显然当x=0时也成立.故实数a的取值范围为[-6,-2].4.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是()A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数B.在(1,3)上f(x)是减函数C.在(4,5)上f(x)是增函数D.当x=4时,f(x)取极大值【解析】选C.由导函数y=f′(x)的图象知,f(x)在(-2,1)上先减后增,在(1,3)上先增后减,在(4,5)上单调递增,x=4是f(x)的极小值点,故A,B,D错误.5.函数y=x2-4x+1在[0,5]上的最大值和最小值依次是()A.f(5),f(0)B.f(2),f(0)C.f(2),f(5)D.f(5),f(2)【解析】选D.y′=2(x-2).x=2时,y′=0;x<2时,y′<0;x>2时,y′>0.所以x=2是极小值点,f(2)=-3;又f(0)=1,f(5)=6,故f(5)是最大值,f(2)是最小值.6.设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论正确的是()A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点处的切线方程为y=10D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点【解析】选C.因为f(x)=x3-12x+b,所以f′(x)=3x2-12,令f′(x)>0,即3x2-12>0,2所以x<-2或x>2,所以函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上为增函数,令f′(x)<0,即3x2-12<0,所以-20,l′(x)=2-,令l′(x)=0,解得x=,易知,当x=时,其周长取最小值,最小值为2+2=4.答案:48.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.【解析】点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,当过点P的切线和直线y=x-2平行时,点P到直线y=x-2的距离最小.直线y=x-2的斜率等于1,令y=x2-lnx的导数y′=2x-=1可得,x=1,或x=-(舍去),3故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),点(1,1)到直线y=x-2的距离等于,故点P到直线y=x-2的最小距离为.答案:【补偿训练】若曲线y=上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【解析】设点P(x0,y0),因为y′=-,所以曲线在点P处的切线的斜率为k=-,又因为切线平行于直线2x+y+1=0,所以-=-2,解得x0=-ln2,代入y=得y0=2,所以点P(-ln2,2).答案:(-ln2,2)【规律总结】求切点的步骤:(1)设切点P(x0,f(x0)).(2)求出函数y=f(x)在点x=x0的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.(3)切点不仅是直线上的一个点,也是曲线上的点,利用这些条件列方程求切点.9.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为.【解析】若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x>0时,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-...
