课时作业11复数代数形式的乘除运算知识点一复数的乘除运算1.复数(1+i)2(2+3i)的值为()A.6-4iB.-6-4iC.6+4iD.-6+4i答案D解析(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.2.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析+(1+i)2=i++1-3+2i=-+i,对应点在第二象限.知识点二共轭复数3.已知复数z的共轭复数=1+2i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析由条件知:z=1-2i,其在复平面内对应的点为(1,-2),在第四象限,选D.4.若z+=6,z·=10,则z=()A.1±3iB.3±iC.3+iD.3-i答案B解析设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,∴解得a=3,b=±1,则z=3±i.知识点三虚数单位i的幂的周期性5.计算:i+i2+i3+…+i2014.解解法一:原式=====-1+i.解法二:∵i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,∴in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).∴原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2009+i2010+i2011+i2012)+i2013+i2014=0+i-1=-1+i.易错点误用判别式求解复数方程6.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根,则实数k的值为________.易错分析(1)求解本题易出现如下错误:因为方程有实数根,所以Δ=(k+2i)2-4(2+ki)≥0,解得k≥2或k≤-2.需注意由于虚数单位的特殊性,不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.(2)复数范围内解方程的一般思路是:依据题意设出方程的根,代入方程,利用复数相等的充要条件求解.对于一元二次方程,也可以利用求根公式求解,要注意在复数范围内负数是能开方的,此外,根与系数的关系也是成立的.注意求方程中参数的取值时,不能利用判别式求解.答案±2解析设x0是方程的实数根,代入方程并整理得(x+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由复数相等的充要条件得解得或所以k的值为-2或2.1一、选择题1.在复平面内,复数对应的点的坐标为()A.(1,3)B.(3,1)C.(-1,3)D.(3,-1)答案A解析由===1+3i得,该复数对应的点为(1,3).2.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·=()A.B.C.1D.2答案A解析解法一:z=====-+i,∴=--i.∴z·==+=.解法二:∵z=,∴|z|===.∴z·=|z|2=.3.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是,则等于()A.-1-2iB.-2+iC.-1+2iD.1+2i答案C解析由题意可得===-1+2i,故选C.4.下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1.其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4答案C解析z===-1-i,所以|z|=,p1为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2为真命题;=-1+i,p3为假命题;p4为真命题.故选C.二、填空题5.计算:=______(i为虚数单位).答案1-2i解析===1-2i.6.若z=-时,求z2012+z102=________.答案-1+i解析z2=2=-i.z2012+z102=(-i)1006+(-i)51=(-i)1004·(-i)2+(-i)48·(-i)3=-1+i.7.设z2=z1-i1(其中1表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为________.答案1解析设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1-i1=a+bi-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,因为z2的实部是-1,即a-b=-1,所以z2的虚部为1.故填1.三、解答题8.已知z∈C,为z的共轭复数,若z·-3i=1+3i,求z.解设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈R),由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则有解得或所以z=-1或z=-1+3i.9.复数z=,若z2+<0,求纯虚数a.2解由z2+<0可知z2+是实数且为负数.z====1-i.∵a为纯虚数,∴设a=mi(m≠0),则z2+=(1-i)2+=-2i+=-+i<0,∴∴m=4,∴a=4i.3