课时作业11复数代数形式的乘除运算知识点一复数的乘除运算1.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为()A．6－4iB．－6－4iC．6＋4iD．－6＋4i答案D解析(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.2．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋i，对应点在第二象限.知识点二共轭复数3.已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析由条件知：z＝1－2i，其在复平面内对应的点为(1，－2)，在第四象限，选D.4．若z＋＝6，z·＝10，则z＝()A．1±3iB．3±iC．3＋iD．3－i答案B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，∴解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.知识点三虚数单位i的幂的周期性5.计算：i＋i2＋i3＋…＋i2014.解解法一：原式＝＝＝＝＝－1＋i.解法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2009＋i2010＋i2011＋i2012)＋i2013＋i2014＝0＋i－1＝－1＋i.易错点误用判别式求解复数方程6.已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为________．易错分析(1)求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)≥0，解得k≥2或k≤－2.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．(2)复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．答案±2解析设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的充要条件得解得或所以k的值为－2或2.1一、选择题1．在复平面内，复数对应的点的坐标为()A．(1,3)B．(3,1)C．(－1,3)D．(3，－1)答案A解析由＝＝＝1＋3i得，该复数对应的点为(1,3)．2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝()A.B.C．1D．2答案A解析解法一：z＝＝＝＝＝－＋i，∴＝－－i.∴z·＝＝＋＝.解法二：∵z＝，∴|z|＝＝＝.∴z·＝|z|2＝.3．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于()A．－1－2iB．－2＋iC．－1＋2iD．1＋2i答案C解析由题意可得＝＝＝－1＋2i，故选C.4．下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2,p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i,p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4答案C解析z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.二、填空题5．计算：＝______(i为虚数单位)．答案1－2i解析＝＝＝1－2i.6．若z＝－时，求z2012＋z102＝________.答案－1＋i解析z2＝2＝－i.z2012＋z102＝(－i)1006＋(－i)51＝(－i)1004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3＝－1＋i.7．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．答案1解析设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i，因为z2的实部是－1，即a－b＝－1，所以z2的虚部为1.故填1.三、解答题8．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.9．复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.2解由z2＋<0可知z2＋是实数且为负数．z＝＝＝＝1－i.∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i<0，∴∴m＝4，∴a＝4i.3
