1．2充分条件与必要条件1．2.1充分条件、必要条件1．充分条件：如果p⇒q，则p叫q的________条件，原命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的________条件．想一想：若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？2．必要条件：如果q⇒p，则p叫q的________条件，逆命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的________条件．想一想：对任意实数a，b，c，①“ac＞bc”是“a＞b”的________________条件；②“ac＝bc”是“a＝b”的______________条件．基础梳理1．充分必要想一想：解析：不唯一．如3＜x＜6是x＞1的充分条件，又如，x＞2，4＜x＜8等都是x＞1的充分条件．2．必要充分想一想：解析：①因为c∈R，所以由“ac＞bc”不一定推出“a＞b”，反之由“a＞b”也不一定推出“ac＞bc”，所以应填：既不充分也不必要．②由“a＝b”可推出“ac＝bc”，反之由“ac＝bc”不一定推出“a＝b”．所以填：必要．答案：①既不充分也不必要②必要1．a＜0，b＜0的一个必要条件为()A．a＋b＜0B．a－b＞0C.＞1D.＜－12．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件3．“a和b都是偶数”是“ab是偶数”的____________条件．自测自评1．解析：a＋b＜0D⇒/a＜0，b＜0，而a＜0，b＜0⇒a＋b＜0.答案：A2．解析：ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.答案：C3．充分不必要11．直线y＝kx＋b过原点的充分条件是()A．b＝0B．b＞0C．b＜0D．b∈R1．解析：b＝0时，直线y＝kx过原点．所以b＝0是直线y＝kx＋b过原点的充分条件．故选A.答案：A2．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要条件是()A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b32．A3．已知p：α≠β，q：cosα≠cosβ，则p是q的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．解析：q⇒p成立，但pD⇒/q，所以p是q的必要不充分条件．答案：A4．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．4．解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)＜0}，故有a＞2.答案：a＞25．(2014·安徽卷)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．解析：ln(x＋1)＜0⇔0＜1＋x＜1⇔－1＜x＜0，而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件．答案：B6．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A．x＋y＝2B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2D．xy＞16．解析：对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．故选B.答案：B7．“lgx＞lgy”是“＞”的____________条件．7．解析：由lgx＞lgy⇒x＞y＞0⇒＞.而>有可能出现x>0，y＝0的情况，故>D⇒/lgx＞2lgy.答案：充分不必要8．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．8．解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即AD⇒/B，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分9．已知A：|p|≥2，p∈R，B：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根．判断A是B的什么条件？并说明理由．9．解析：当|p|≥2时，例如p＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实数根，而方程x2＋px＋p＋3＝0有实根，必有p≤－2或p≥6，可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分条件．10．已知a、b为不等于0的实数，试判断“＞1”是“a＞b”的什么条件，并证明你的结论．10．解析：由条件“＞1”可得＞0，若b＞0，则a＞b；若b＜0，则a＜b.所以“＞1”D⇒/“a＞b”，“＞1”不是“a＞b”的充分条件．反过来，a＞b⇒a－b＞0，也不能推出＞1⇒＞0，“＞1”也不是“a＞b”的必要条件．所以“＞1”既不是“a＞b”的充分条件，也不是“a＞b”的必要条件．3
