第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理1.一个同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆，●表示实心圆)：○●○○●○○○●○○○○，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2014个圆中实心圆的个数为________．答案：61解析：将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，…可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2014个圆中实心圆的个数，因此，找到第2014个圆所在的段数很重要，由2＋3＋…＋62＝×61＝1952<2014，而2＋3＋…＋63＝×62＝2015>2014，因此，共有61个实心圆．2.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2014(x)＝________．答案：cosx－sinx解析：f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx；f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx；f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx；f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx，则其周期为4，即fn(x)＝fn＋4(x)．f2014(x)＝f2(x)＝cosx－sinx.3.下列推理正确的是________．(填序号)①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay；②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny；③把(ab)n与(x＋y)n类比，则有(x＋y)n＝xn＋yn；④把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)．答案：④解析：逐个验算可知只有④正确.4.若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项都为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项积为Tn，则数列{}为等比数列，公比为________.答案：解析：由＝a1＋(n－1)×，类似地，＝a1q＝a1()n－1即可得到数列{}为等比数列，公比为.5.已知命题：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在椭圆＋＝1(m>n>0，p＝)上，椭圆的离心率是e，则＝.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是________．答案：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在双曲线－＝1(m>0，n>0，p＝)上，双曲线的离心率是e，则＝解析：由正弦定理和椭圆定义＝＝，类比双曲线应有＝＝.6.已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝；现已知等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________．答案：解析：等差数列中bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中bn－am可以类比等比数列中的，等差数列中可以类比等比数列中的.7.设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．答案：解析：观察知四个等式等号右边的分母为x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以归纳出fn(x)＝f(fn－1(x))的分母为(2n－1)x＋2n，故当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.8.观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.证明如下：左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]＝sin2α＋＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右边．所以，猜想是正确的．9.在Rt△ABC中，两直角边的长分别为a、b，直角顶点C到斜边的距离为h，则易证＝＋.在四面体S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，点S到平面ABC的距离为h，类比上述结论，写出h与a、b、c之间的等式关系并证明．解：类比得到：＝＋＋.证明：过S作△ABC所在平面的垂线，垂足为O，连结CO并延长交AB于D，连结SD， SO⊥平面ABC，∴SO⊥AB. SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面ABC，∴SC⊥AB，SC⊥SD，∴AB⊥平面SCD，∴AB⊥SD.在Rt△ABS中，有＝＋，在Rt△CDS中，有＝＋＝＋＋.10.老师布置了一道作业题“已知圆C的方程是x2＋y2＝r2，求证：经过圆C上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意思，经过认真思考后...
