“3＋1”保分大题强化练五前3个大题和1个选考题不容有失1．已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，设bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由；(3)求数列{an}的通项公式．解：(1)因为数列{an}满足(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，所以将n＝1代入得3a1＝2a2－12.又a1＝2，所以a2＝9.将n＝2代入得4a2＝3a3－24，所以a3＝20.从而b1＝1，b2＝3，b3＝5.(2)数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．理由如下：将(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)，化简可得－＝2，即bn＋1－bn＝2，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．(3)由(2)可得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝(n＋1)bn＝(n＋1)(2n－1)＝2n2＋n－1.2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，PA＝PC＝2，且平面ACP⊥平面ABCD.(1)求证：CB⊥PD；(2)求二面角CPBA的余弦值．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接PO，由题意知O为AC的中点， PA＝PC，∴PO⊥AC， 平面ACP⊥平面ABCD，平面ACP∩平面ABCD＝AC，∴PO⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC. BD＝＝，∴BD2＋BC2＝CD2，∴BC⊥BD.又BD∩PO＝O，∴BC⊥平面PBD. PD⊂平面PBD，∴CB⊥PD.(2)由(1)知DA⊥DB，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D与平面ADB垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系．由(1)知PO⊥平面ABCD，则PO∥z轴．由平面几何知识易得AO＝，PO＝，则A(1,0,0)，B(0，，0)，P，C(－1，，0)，于是BC＝(－1,0,0)，BP＝，BA＝(1，－，0)，设平面PBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则即取z＝1，则y＝，所以n1＝(0，，1)为平面PBC的一个法向量．设平面PBA的法向量为n2＝(a，b，c)，则即取a＝3，则b＝，c＝1，所以n2＝(3，，1)为平面PBA的一个法向量．于是cos〈n1，n2〉＝＝＝，由图知，二面角CPBA为钝角，所以二面角CPBA的余弦值为－.3．中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：①在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意知，X～N(17.40,6.92)．①P(X＞μ－σ)≈0.5＋≈0.8414，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大约为14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋≈0.9773，得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，记这1000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B(103，p)，其中p＝0.9773，于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k，从而由＝＞1，得k＜1001p，而1001p＝978.2773，所以，当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)＜P(ξ＝k)，当979≤k≤1000时，P(ξ＝k－1)＞P(ξ＝k)，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4．[选修4－4：...
