课时跟踪检测（五十一）抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．解析：由题意设抛物线的方程为y2＝2ax(a>0)，由于其过点P(2,4)，所以42＝2a×2⇒a＝4，故该抛物线的方程是y2＝8x.答案：y2＝8x2．设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是________．解析：依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x＝3的距离，即等于3＋1＝4.答案：43．抛物线y＝2x2的焦点坐标是________．解析：抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标是.答案：4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝，所以线段AB的中点到y轴的距离＝.答案：5．(2016·镇江调研)过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：由题意知，抛物线焦点为(1,0)，直线l的方程为y＝x－1，与抛物线方程联立，得消去x，得y2－4y－4＝0，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，两交点纵坐标差的绝对值为4，从而△OAB的面积为2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·扬州期末)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点也是双曲线x2－y2＝8的一个焦点，则p＝________.解析：抛物线y2＝2px的焦点为，双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)，故＝4，即p＝8.答案：82．(2016·连云港调研)若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为________．解析：由题意知，抛物线准线方程为x＝－.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，解得b＝±，所以S△MFO＝××＝.答案：3．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是________．解析：如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，所以|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|＝3＋＝，当且仅当A，P，N三点共线时取等号，此时点P的坐标是1(1,2)．答案：(1,2)4．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.答案：45．(2016·扬州调研)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________．解析：记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cos∠ABB1＝＝＝，即cos60°＝＝，由此得＝.答案：6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.解析：如图，由直线AF的斜率为－，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，所以∠PAF＝60°.又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，所以△PAF为等边三角形，由|HF|＝4得|AF|＝8，所以|PF|＝8.答案：87．已知两点A(1,0)，B(b,0)．如果抛物线y2＝4x上存在点C，使得△ABC为等边三角形，那么实数b＝________.解析：依题意，线段AB的垂直平分线x＝(b>－1)与抛物线y2＝4x的交点C满足|CA|＝|AB|＝|b－1|(其中n2＝2(b＋1))，于是有2＋n2＝(b－1)2，即2＋2(b＋1)＝(b－1)2，化简得3b2－14b－5＝0，即(3b＋1)(b－5)＝0，解得b＝5或b＝－.答案：5或－8．设抛物线C：y2＝2px(p>0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点．若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝________.解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得A，易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x得，－y－＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2＝－p2，根据弦长公式，|FP|·|FQ|＝·|y1|·|y...
