3.1.3导数的几何意义基础练习1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．2【答案】C2．设函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x)()A．在点(x0，f(x0))处的切线不存在B．在点(x0，f(x0))处的切线可能存在C．在点x0处不连续D．在x＝x0处极限不存在【答案】B3.设f(x)存在导函数且满足lim＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()A．－1B．－2C．1D．2【答案】A4．曲线y＝x3－3x2＋1在点P(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x－1D．y＝4x－7【答案】B5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lim＝________.【答案】－2【解析】lim＝f′(1)＝kAB＝＝－2.6．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋3，则f(1)＋f′(1)＝________.【答案】4【解析】点M(1，f(1))在切线y＝x＋3上，则f(1)＝×1＋3＝，根据导数的几何意义可知f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝4.7．求曲线f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．解：由y＝x3＋2x－1，得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.∴＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.当Δx→0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2→3x2＋2，即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.1故点P处的切线斜率为k＝5.所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.8．已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程．解：因为f(x)＝x3－3x，设切点为M(x0，y0)，y′＝lim＝3x2－3，所以k＝y′|x＝x0＝3x－3.所以切线方程为y－y0＝3(x－1)(x－x0)．因为点M在曲线上，所以y0＝x－3x0.又点A(0,16)在切线上，有16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)，化简得x＝－8，解得x0＝－2.所以切点为M(－2，－2)，切线方程为y＋2＝9(x＋2)，即9x－y＋16＝0.能力提升9．曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由导数的定义知y′＝lim＝lim＝2，即切线斜率为2，所以切线方程为y－＝2(x－1)．当x＝0时，y＝－；当y＝0时，x＝.所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为××＝.故选A．10．已知函数f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定【答案】B【解析】由导数的几何意义知f′(xA)与f′(xB)分别表示的是曲线在xA，xB处的切线的斜率．由图可得kA＜kB，所以f′(xA)＜f′(xB)．故选B．11．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则实数a＝________.【答案】1【解析】∵f′(1)＝lim＝lim[a(Δx)2＋3aΔx＋3a＋1]＝3a＋1，即切线斜率k＝3a＋1.∵f(1)＝a＋2，∴切点为(1，a＋2)．又切线过点(2,7)，∴＝3a＋1.解得a＝1.12．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．解：设该切线在曲线y＝x3上的切点为(x1，x)，在y＝ax2＋x－9上的切点为(x2，y2)，则该切线的斜率为k＝.根据导数的几何意义，知k＝lim＝lim＝3x，所以＝3x，解得x1＝或x1＝0.(1)当x1＝0时，k＝0，切线方程为y＝0，则y＝ax2＋x－9与x轴只有一个交点，即Δ＝2＋36a＝0，解得a＝－.(2)x1＝时，k＝，切线方程为y＝(x－1)．2又k＝＝＝.①根据导数的几何意义，知k＝lim＝2ax2＋＝.②联立①②，解得x2＝－，a＝－1.综上，a的值为－或－1.3
