课时训练10双曲线的简单几何性质1.双曲线x2-y2=λ2(λ>0)的离心率e=().A.2B.C.D.1答案:C解析:由双曲线方程知a=λ,c=λ,故e=.2.与曲线=1共焦点,而与曲线=1共渐近线的双曲线的方程为().A.=1B.=1C.=1D.=1答案:A解析:根据椭圆方程可知焦点为(0,-5),(0,5).设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),即=1.由-64λ+(-36λ)=25,得λ=-.故所求双曲线的方程为=1.3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率e为().A.2B.3C.D.答案:D解析:根据题意,得2a+2c=2×2b,所以a2+2ac+c2=4(c2-a2),即3c2-2ac-5a2=0.所以3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍).4.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m等于().A.1B.2C.3D.4答案:D解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0)化为标准方程是=1(m>0),∴a2=,b2=.取一个顶点为,一条渐近线的方程为mx-3y=0,∴.∴m=4.15.双曲线的焦点在y轴上,且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上,e=,则双曲线的标准方程为().A.=1B.=1C.=1D.=1答案:D解析:依题意可得一焦点为(0,10),故c=10.又e=,解得a=6,b2=c2-a2=64,故方程为=1.6.双曲线=1上一点P对两焦点F1,F2的视角为60°,则△F1PF2的面积为().A.2B.3C.9D.6答案:C解析:由定义得||PF1|-|PF2||=8,∴|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=64.①在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2-|PF1|·|PF2|+|PF2|2=100.②②-①,得|PF1|·|PF2|=36.∴·|PF1|·|PF2|·sin60°=×36×=9.7.若双曲线的离心率为,焦点在x轴上,则其渐近线方程为.答案:y=±2x解析:由于e=,所以=5,=4,=2,故渐近线方程为y=±2x.8.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为.答案:解析:设双曲线的两焦点分别为F1,F2,由题意可知|F1F2|=2c,|AB|=2|AF1|=4a.在Rt△AF1F2中,∵|AF1|=2a,|F1F2|=2c,|AF2|=,∴|AF2|-|AF1|=-2a=2a,即3a2=c2,∴e=.9.已知双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为,求双曲线C的方程.解:依题意,双曲线焦点在y轴上,顶点坐标为(0,a),渐近线方程为y=±x,即ax±by=0,所以.又e=,2所以b=1,即c2-a2=1,-a2=1,解得a2=4,故双曲线方程为-x2=1.10.过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|=|BC|,求双曲线M的离心率.解:∵双曲线M的方程为x2-=1,∴左顶点A为(-1,0),渐近线方程为y=±bx.又直线l的斜率为1,∴l的方程为y=x+1.从而可求得直线l:y=x+1与渐近线y=bx的交点为C,AC的中点为,且在渐近线y=-bx上,则=-b·,得b=3,c=,e=.∴双曲线的离心率为.3
