高中数学 课时跟踪训练（九）椭圆的几何性质（含解析）苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪训练(九)椭圆的几何性质1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是________________________________________________________________________．3．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．5．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率是________．6．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e＝，经过点A(，－2)，求椭圆的标准方程．7．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．8．若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于－，试求椭圆的离心率及其方程．答案1．解析：法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．1答案：2．解析：依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝4，b2＝3.答案：＋＝13．解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，c＝4.故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距4．解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，y＝b2－.所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，即k1·k2的值为－.答案：－5．解析：设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°.由题意知，F1F2＝PF2＝2c，F2M＝－c.在Rt△PF2M中，F2M＝PF2，即－c＝c.∴e＝＝.答案：6．解：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则＋＝1.①由已知e＝，∴＝，∴c＝a.∴b2＝a2－c2＝a2－(a)2，即b2＝a2.②把②代入①，得＋＝1，解得a2＝25，∴b2＝16，∴所求方程为＋＝1.7．解：椭圆方程可化为＋＝1，由m>0，易知m>，∴a2＝m，b2＝.∴c＝＝.由e＝，得＝，解得m＝1，∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1，F2，顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.8．解：令x＝－c，代入＋＝1(a＞b＞0)，得y2＝b2(1－)＝，∴y＝±.设P(－c，)，椭圆的右顶点A(a,0)，上顶点B(0，b)．∵OP∥AB，∴kOP＝kAB，∴－＝－，∴b＝c.而a2＝b2＋c2＝2c2，∴a＝c，∴e＝＝.又∵a－c＝－，解得a＝，c＝，∴b＝，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.23