1.3平均值不等式（一）一、选择题1.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是()A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解析先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得所以又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D.答案D2.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元解析设底面矩形的一条边长是xm，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.答案C3.函数y＝log2(x>1)的最小值为()A.－3B.3C.4D.－4解析x>1，x－1>0，y＝log2＝log2≥log2(2＋6)＝log28＝3.答案B4.若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为()A.－1B.＋1C.2＋2D.2－2解析a(a＋b＋c)＋bc＝4－2⇒a(a＋b)＋(a＋b)c＝(a＋b)(a＋c)＝4－2.而2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝2＝2－2.当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立.答案D5.若不等式x2＋2x＋a≥－y2－2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是()A.a≥0B.a≥1C.a≥2D.a≥3解析x2＋2x＋a≥－y2－2y，对任意实数x、y都成立，1则a≥－y2－2y－x2－2x＝2－(x＋1)2－(y＋1)2恒成立，而2－(x＋1)2－(y＋1)2≤2，∴a≥2.答案C6.在下列函数中，最小值是2的是()A.y＝＋(x∈R且x≠0)B.y＝lgx＋(10，3－x＝>0，∴运用基本不等式取等号的条件是3x＝，而x＝0成立，故选C.D中，∵01，sinx≠.答案C7.若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为()A.B.C.D.解析由题意得a2＝(1＋2b)(1－2b)＝1－4b2.即a2＋4b2＝1.∵a2＋4b2≥2，得|ab|≤且≥4，∴＝＝＝＝≤＝.答案B二、填空题8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为________吨.解析每年购买次数为次.所以总费用＝·4＋4x≥2＝160.当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立.答案209.若正数a，b满足a＋2b＝3，且使不等式＋－m＞0恒成立，则实数m的取值范围是________.解析不等式＋－m＞0恒成立，即3＞3m恒成立.又正数a，b满足a＋2b＝3，(a＋2b)＝＋＋＋2≥，当且仅当a＝b＝1时取“＝”，所以实数m的取值范围是.答案三、解答题10.已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋b)≥4.证明∵a>0，b>0，∴a＋b≥2>0，当且仅当a＝b时，取等号.①＋≥2>0，当且仅当＝，即a＝b时取等号.②①×②，得(a＋b)≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，取等号.11.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米.2(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.解设AN的长为x米(x>2)，矩形AMPN的面积为y.∵＝，∴|AM|＝，∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝(x>2)(1)由S矩形AMPN>32得>32，∵x>2，∴3x2－32x＋64>0，即(3x－8)(x－8)>0，∴28，即AN的长的取值范围是∪(8，＋∞).(2)令y＝＝＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，当且仅当3(x－2)＝，即x＝4时，y＝取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值24平方米.(3)令g(x)＝3x＋(x≥4)，设x1>x2≥4，则g(x1)－g(x2)＝3(x1－x2)＋＝，∵x1>x2≥4，∴x1－x2>0，x1x2>16，∴g(x1)－g(x2)>0，∴g(x)在[4，＋∞)上递增.∴y＝3(x－2)＋＋12在[6，＋∞)上递增.∴当x＝6时，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值27平方米.3
