2．4渐开线与摆线►预习梳理1．以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：________________________________________________________________________(其中r为基圆的半径)．2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为：______________________________________________________．►预习思考半径为8的圆的渐开线参数方程为(φ为参数)，摆线参数方程为______________．,预习梳理1.(φ为参数)2.(φ为参数)预习思考(φ为参数)1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同1．C2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为()A.(θ为参数)B.(θ为参数)C.(θ为参数)D.2.C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原1点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有()A．①③B．②④C．②③D．①③④3.C4．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．(φ为参数)5．如下图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH，…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()A．3πB．4πC．5πD．6π5．C6．已知摆线的生成圆的直径为80mm，则摆线的参数方程为____________________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．6.(φ为参数)80πmm80mm7．已知参数方程为(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，摆线参数方程为____________________________．7.(φ为参数)(φ为参数)8．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．28．(6，0)和(－6，0)9．当φ＝，π时，求出渐开线(φ为参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．9．解析：将φ＝代入得x＝cos＋sin＝1，y＝sin－cos＝1.∴A.将φ＝π代入得x＝cosπ＋πsinπ＝－1，y＝sinπ－πcosπ＝π.∴B(－1，π)．故A，B间的距离为|AB|＝＝.10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别为和，求点A、B的直角坐标．10．解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为(φ为参数)．将φ＝代入得x＝cos＋sin＝＋π，y＝sin－cos＝－.∴A点的坐标为.当φ＝时，同理可求得B点的坐标为.11．求摆线(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．11．解析：当y＝2时，有2(1－cosφ)＝2，∴cosφ＝0.又0≤φ≤2π，∴φ＝或φ＝.当φ＝时，x＝π－2；当φ＝时，x＝3π＋2.∴摆线与直线y＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．12．设圆的半径为4，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值．312．解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为(φ为参数)．且0≤φ≤2π.其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π)，如下图所示：易知，当x＝4π时，y有最大值8.13．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．13．分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．14．已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐...
