考点规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b22.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.23.(2017河南新乡二模)已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+a·b=0,则实数m等于()A.-4B.4C.-2D.24.(2017河南濮阳一模)若向量=(1,2),=(4,5),且·(λ)=0,则实数λ的值为()A.3B.-C.-3D.-5.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为()A.B.2C.5D.106.在△ABC中,AB边的高为CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b7.(2017河北邯郸二模)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于()A.-B.1C.2D.8.(2017北京,文7)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=.10.设e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+λe2与b=2e1-3e2垂直,则λ=.11.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.(1)求向量a与b的夹角θ;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.1能力提升12.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,向量m与n的夹角为θ,且cosθ=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-13.在矩形ABCD中,AB=1,AD=,P为矩形内一点,且AP=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为()A.B.C.D.14.已知,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.2115.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3=2,则的值是.16.(2017江苏,12)如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为α,且tanα=7,的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.高考预测17.已知非零向量a,b满足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,则向量b-a在向量a方向上的投影是.答案：1.B解析:A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.2综上,选B.2.B解析:由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.3.C解析:设a,b的夹角为θ,∵|a||b|+a·b=0,∴|a||b|+|a||b|cosθ=0,∴cosθ=-1,即a,b的方向相反.又向量a=(1,2),b=(m,-4),∴b=-2a,∴m=-2.4.C解析:∵=(1,2),=(4,5),∴=(3,3),λ=(λ+4,2λ+5).又·(λ)=0,∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,解得λ=-3.5.C解析:依题意得,=1×(-4)+2×2=0,∴.∴四边形ABCD的面积为|||==5.6.D解析:∵a·b=0,∴.∵|a|=1,|b|=2,∴AB=.又CD⊥AB,∴由射影定理,得AC2=AD·AB.∴AD=.∴.∴)=(a-b),故选D.7.B解析:∵a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,∴a·b=2m-2=0,解得m=1,∴a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又a+b=(3,1),a·(a+b)=1×3+2×1=5,∴=1.8.A解析:m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.9.-解析:∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,解得x=-.10.解析:∵e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,∴|e1|=|e2|=1,e1·e2=.∵(e1+λe2)⊥(2e1-3e2),∴(e1+λe2)·(2e1-3e2)=2+(2λ-3)e1·e2-3λ=2+(2λ-3)-3λ=0.∴λ=.11.解:(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cosθ-3=9.所以cosθ=.3因为θ∈[0,π],所以θ=.(2)由(1)可知a·b=|a||b|cos=1,所以|a+b|=,a·(a+b)=a2+a·b=5.所以向量a在a+b方向上的投影为.12.B解析:由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.13.B解析:因为=λ+μ,所以||2=|λ+μ|2.所以=λ2||2+μ2||2+2λμ.因为AB=1,AD=,AB⊥AD,所以=λ2+3μ2.又=λ2+3μ2≥2λμ,所以(λ+μ)2=+2λμ≤.所以λ+μ的最大值为,当且仅当λ=,μ=时等号成立.14.A解析:以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.则A(0,0),B,C(0,t),∴=(1,0),=(0,1),∴=(1,0)+4(0,1)=(1,4),∴点P的坐标为(1,4),=(-1,t-4),∴=1--4t+16=-+17≤-4+17=13.当且仅当=4t,即t=时等号成立,∴的最大值为13.15.22解析:∵=3,∴.又AB=8,AD=5,∴=||2-|2=25--12=2.∴=22.416.3解析:||=||=1,||=,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<,sinα>0,cosα>0,tanα=,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=,cosα==1,=cos=-,得方程组解得所以m+n=3.17.-2解析:∵|a+b|=|a-b|,∴a⊥b,即a·b=0.∴(b-a)·a=a·b-a2=-4.∴向量b-a在向量a方向上的投影为=-2.5
