利用空间向量求二面角的两种策略策略一：先作出二面角的的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB是一二面角a-l-b的一个平面角，则向量OA与OB所成的角就是所求的二面角的大小.例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD所成二面角.解法一：如图1，设AC与BD交于O，连结A1O，C1O，因为A1D=A1B，所以A1O⊥BD，同理C1D⊥BD.∴∠A1OC1就是平面A1BD与平面C1BD所成二面角的平面角.设正方体棱长为1，则|AO|=，A1O=A1A+AO，∴|A1O|2=(A1A+AO)·(A1A+AO)=|A1A|2+2A1A·AO+|AO|2=1++2××cos90°=,∴|A1O|=，同理|C1O|=，又OA1·OC1=(OA+AA1)·(OC+CC1)=OA·OC+OA·CC1+AA1·OC+AA1·CC1=﹣+0+0+1=，∴cos===.故平面A1BD与平面C1BD所成二面角大小为arccos.解法二：设AC与BD交于E，连结A1E，C1E，因为A1D=A1B，所以A1E⊥BD，同理C1E⊥BD.∴∠A1EC1就是平面A1BD与平面C1BD所成二面角的平面角.建立如图2所示的空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(1,1,0)，∴EA1=(1，-1，2)，EC1=(-1，1，2)，∴EA1·EC1=1×(-1)+(-1)×1+2×2=2，|EA1|=|EC1|=，∴cos===.故平面A1BD与平面C1BD所成二面角大小为arccos.策略二：利用平面的法向量求解：设n1是平面a的法向量，n2是平面b的法向量.①若两个平面的二面角如图3所示的示意图，则n1与n2之间的夹角就是欲求的二面角；②若两个平面的二面角如图4所示的示意图，设n1与n2之间的夹角为θ.则两个平面的二面角为π﹣θ.例2如图5，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SCD与平面SAB所成二面角的大小.解法一：平面SAB的法向量是→，平面SCD的法向量可设为n=λ→+→+→.∵SA⊥平面ABCD，∴→·→=0，→·→=0，→·→=0，又AB⊥AD，AB⊥BC，∴→·→=0，→·→=0由n·→=(λ→+→+→)·(→+→+→)=λ→·→+λ→·→+→·→=﹣λ+λ+=λ+=0，又n·→=(λ→+→+→)·(→﹣→)=→·→﹣λ→·→=1﹣λ=0，∴λ=4,=﹣1,∴n=4→﹣→+→,∴→·n=→·(4→-→+→)=4|→|2=1∴|n|2=(4→﹣→+→)2=16|→|2+|→|2+|→|2=6，∴|n|=.设θ表示平面SCD与平面SAB所成二面角，则cosθ===.∴θ=arccos.故平面SCD与平面SAB所成二面角的大小为arccos.解法二：建立如图6所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A(0,0,0)，D(,0,0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，由条件易知，AD是面SAB的法向量，且AD=(，0，0)，设面SCD的法向量为n=(x，y，z)，∵SD=(，0，﹣1)，DC=(，1，0)，又n·SD=0，n·DC=0，∴x﹣z=0。x+y=0，不妨令x=2，则n=(2，﹣1，1)，∴AD·n=×2+0×(﹣1)+0×1=1，又|AD|=，|n|=，设所求二面角为θ，则有cosθ===.用心爱心专心图3图4图5图1图2图6故平面SCD与平面SAB所成二面角的大小为arccos.用心爱心专心
