课时作业2向量的加法运算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA等于(A)A．BCB．DBC．BDD．CB解析：BC＋DC＋BA＝BC＋(DC＋BA)＝BC＋0＝BC.故选A．2．(多选)如图，△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是(ACD)A．BG＝BEB．DG＝AGC．DA＋FC＝BCD．CG＝－2FG解析：由题意可知G为△ABC的重心，由三角形重心的性质可知DG＝GA显然成立，故B错误．选项A，C，D都成立．3．若向量a表示向东走1km，向量b表示向南走1km，则向量a＋b表示(A)A．向东南走kmB．向东南走2kmC．向东北走kmD．向东北走2km解析：如图所示，a＋b表示向东南方向走km.故选A．4．已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②(AB＋MB)＋BO＋OM；③OA＋OC＋BO＋CO；④AB＋CA＋BD＋DC.其中结果为0的个数是(B)A．1B．2C．3D．4解析：由向量加法的运算法则知①④的结果为0.故选B．5．在平行四边形ABCD中，若|BC＋BA|＝|BC＋AB|，则四边形ABCD是(B)A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定解析：依题意，平行四边形ABCD中，|BC＋BA|＝|BC＋AB|，则平行四边形ABCD的两条对角线相等．故四边形ABCD为矩形．故选B．6．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(A)A．a∥b，且a与b方向相同B．a、b是共线向量C．a＝－bD．a、b无论什么关系均可解析：当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.二、填空题7．如图，在平行四边形ABCD中：(1)AB＋AD＝AC；(2)AC＋CD＋DO＝AO；(3)AB＋AD＋CD＝AD.8．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，|AB|＝1，则|BC＋CD|＝1.解析：由题知△ABD为等边三角形，所以|BC＋CD|＝|BD|＝|AB|＝1.9．若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的取值范围为[0,2]，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同．解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤2.当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同．三、解答题10.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC．求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：因为AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，而由题知BP＝QC，所以PB＋QC＝PB＋BP＝0，所以AB＋AC＝AP＋AQ＋(PB＋QC)＝AP＋AQ.11．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．现有一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示水速、船速及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与水速之间的夹角表示，精确到度)．解：(1)如图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC表示船实际航行的速度．(2)在Rt△ABC中，|AB|＝2km/h，|BC|＝5km/h，所以|AC|＝＝km/h.因为tan∠CAB＝2.5，由计算器得∠CAB≈68°.所以船实际航行速度的大小为km/h，方向与水速间的夹角约为68°.——能力提升类——12．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于(B)A．1B．2C．3D．2解析：由正六边形知FE＝BC，所以AB＋FE＋CD＝AB＋BC＋CD＝AD，所以|AB＋FE＋CD|＝|AD|＝2.故选B．13．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，则|a＋b|＝3.解析：如图，∵|OA|＝|OB|＝3，∴平行四边形OACB为菱形．连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D．∵∠AOB＝60°，∴AB＝|OA|＝3.∴在Rt△BDC中，CD＝.∴|a＋b|＝|OC|＝×2＝3.14．已知△ABC是正三角形，给出下列等式：①|AB＋BC|＝|BC＋CA|；②|AC＋CB|＝|BA＋BC|；③|AB＋AC|＝|CA＋CB|；④|AB＋BC＋AC|＝|CB＋BA＋CA|.其中正确的有①③④.(写出所有正确等式的序号)解析：AB＋BC＝AC，BC＋CA＝BA，而|AC|＝|BA|，故①正确；|AC＋CB|＝|AB|≠|BA＋BC|，故②不正确；画图(图略)可知③正确；|AB＋BC＋AC|＝|AC＋AC|，|CB＋BA＋CA|＝|CA＋CA|，故④正确．15.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点．求证：AD＋BE＋CF＝0.证明：由题意知：AD＝AC＋CD，BE＝BC＋CE，CF＝CB＋BF.由平面几何可知：EF＝CD，BF＝FA.∴AD＋BE＋CF＝(AC＋CD)＋(BC＋CE)＋(CB＋BF)＝(AC＋CD＋CE＋BF)＋(BC＋CB)＝(AE＋EC＋CD＋CE＋BF)＋0＝AE＋CD＋BF＝AE＋EF＋FA＝0.
