详解与示例平面向量数量积的有关概念一.两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。二.平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意:数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，，，，则_________（答：－9）；（2）已知，与的夹角为，则等于____（答：1）；（3）已知，则等于____（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：）三.向量在向量上的投影:为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）四.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。五.向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：(1)；(2)当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，为锐角可以推出,但不一定可以推出为锐角；当为钝角时，＜0，且不反向，为钝角可以推出,但不一定可以推出为钝角;用心爱心专心(3)非零向量，夹角的计算公式：；④。如①已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；②已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________（答：）；③已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：①；②最小值为，）六.两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？(1)在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.(2)已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.(3)在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.七.向量平行(共线)的充要条件：＝0。如(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，则x＝______（答：4）；（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）.八、向量垂直的充要条件：.特别地。如用心爱心专心(1)已知，若，则（答：）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，则的坐标是________（答：）.用心爱心专心
