两招破解三角形解的个数问题陈海峰学了正、余弦定理后,不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼,当三角形中已知两边和其中一边的对角时,可能出现一解、二解、无解等情况,虽然书上也有相应的方法,可是一些同学茫然依旧,下面提供“两招”供同学们选择,希望能帮助同学们顺利破解。第一招:大角对大边在已知三角形ABC中的边长a,b和角A,且已知a,b的大小关系,常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数,一般的做法如下,首先利用大边对大角,判断出角B与角A的大小关系,然后求出B的值,根据三角函数的有界性求解。例1.在△ABC中,已知,,,求A、C及c。解:由正弦定理,得,因为,,所以或。当时,,;当时,,。点评:在三角形中,这是个隐含条件,在使用时我们要注意挖掘。第二招:二次方程的正根个数一般地,在△ABC中,已知a,b和角A,常常可对角A应用余弦定理,并将其整理为关于c的一元二次方程,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数解,则该三角形有一解;若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解。例2.如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=,∠BCD=,求BC的长。解:在△ABD中,设BD=x,则,即,整理得,解得,(舍去)。由正弦定理,得。用心爱心专心点评:已知三角形两边和其中一边的对角,我们可以采用正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷。用心爱心专心