43几何证明选讲1.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.证明 ∠BAC＝90°，且AD⊥BC，∴由射影定理得AC2＝CD·BC，∴＝.① EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴＝.又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF，∴＝.②由①、②得＝，即EF∶DF＝BC∶AC.2.(2014·陕西改编)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的值．解 ∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴2＝，∴EF＝3.3．(2014·重庆改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的值．解由切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则＝，即＝，解得AB＝4.4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD＝2，AE＝6.(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长．解(1)取BD的中点O，连结OE. BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.又 OB＝OE，∴∠OBE＝∠BEO，∴∠CBE＝∠BEO，∴BC∥OE. ∠C＝90°，∴OE⊥AC，∴直线AC是△BDE的外接圆的切线，即直线AC与△BDE的外接圆相切．(2)设△BDE的外接圆的半径为r.在△AOE中，OA2＝OE2＋AE2，即(r＋2)2＝r2＋62，解得r＝2，∴OA＝2OE，∴∠A＝30°，∠AOE＝60°.∴∠CBE＝∠OBE＝30°，∴EC＝BE＝×r＝××2＝3.5.如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．(1)证明连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB， ∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC.(2)解OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝＝4.延长BO交⊙O于点D，连结DN.由条件易知△BOM∽△BND，于是＝，即＝，∴BN＝6.∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.6．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，求线段CD的长．解因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以＝，即BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝.7．(2014·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连结MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．8.如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明连结OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)解由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.9．(2014·辽宁)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连结DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直径．(2)连结BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中...
