活用椭圆定义椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。例1ABC的三边a、b、c成等差数列且满足abc，A、C两点的坐标分别是1,0、1,0。求顶点B的轨迹。分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。解析：∵a、b、c成等差数列，∴2bac，即2ACABBC，又2AC，∴4BABC。根据椭圆的定义，易得点B的轨迹方程为22143xy。又∵abc，∴ac，即BCAB，∴222211xyxy，∴0x。故点B的轨迹是椭圆的一半，方程为22143xy（0x）。又当2x时，点A、B、C在同一条直线上，不能构成三角形，∴2x。∴点B的轨迹方程为22143xy20x。评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略ac这一条件，因此易漏掉0x这一用心爱心专心限制；由于A、B、C三点构成三角形，故应剔除使A、B、C共线的点2,0。例2椭圆2211612xy上一点P到两焦点1F、2F的距离之差为2，试判断12PFF的形状。分析：由椭圆定义知，12PFPF与的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出12PFF的两边。解析：由12128,2PFPFPFPF，解得125,3PFPF。又124FF，故满足2222121PFFFPF。∴12PFF为直角三角形。评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。练习：1．椭圆2211625xy的两个焦点为1F、2F，过2F的直线交椭圆于A、B两点，则1ABF的周长为（）A．10B．12C．16D．202．椭圆221123xy的焦点为1F和2F，点P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y轴上，那么1PF是2PF的（）A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍答案：1．D用心爱心专心2．A用心爱心专心
