(一)三角函数与解三角形1．(2017届江苏省南通、扬州、泰州三模)已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若角α满足f(α)＋f－1＝0，α∈(0，π)，求角α值．解(1)由条件可知，周期T＝2π，即＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asin.因为f(x)的图象经过点，所以Asin＝，所以A＝1，所以f(x)＝sin.(2)由f(α)＋f＝1，得sin＋sin＝1，即sin－cos＝1，所以2sin＝1，即sinα＝.因为α∈(0，π)，所以α＝或.2.如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cosA＝，cos∠ACB＝，BC＝13.(1)求cosB的值；(2)求CD的长．解(1)在△ABC中，cosA＝，A∈(0，π)，所以sinA＝＝＝.同理可得sin∠ACB＝.所以cosB＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sinAsin∠ACB－cosAcos∠ACB＝×－×＝.(2)在△ABC中，由正弦定理得AB＝sin∠ACB＝×＝20.又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5.在△BCD中，由余弦定理得CD＝＝＝9.3．(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理，得sinCsinB＝，故sinBsinC＝.(2)由题设及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.4．(2017届辽宁省部分重点中学模拟)已知函数f(x)＝2sin2＋2sincos.(1)求函数f(x)的单调递增区间及其对称中心；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A满足f(A)＝＋1.若a＝3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积S.解(1)f(x)＝＋sin＝sin2x＋cos2x＋＝2sin＋，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ⇒－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．令2x＋＝kπ⇒x＝－＋(k∈Z)，则对称中心为(k∈Z)．(2)由f(A)＝＋1，得sin＝，则2A＋＝，所以A＝.又|BC|＝|AC－AB|＝3，①BC边上的中线长为3，则|AC＋AB|＝6，②由①②知，AB·AC＝⇒|AB|·|AC|cos＝⇒|AB|·|AC|＝，所以S△ABC＝|AB|·|AC|sin＝.5.如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，E，F分别在边CA，AB上．(1)若DE＝，求CE的长；(2)若∠EDF＝60°，问：当∠CDE取何值时，△DEF的面积最小？并求出面积的最小值．解(1)在△CDE中，∠DCE＝60°，CD＝1，DE＝，由余弦定理，得DE2＝CD2＋CE2－2×CD×CE×cos60°，CE2－CE－1＝0，解得CE＝.(2)设∠CDE＝α，30°≤α≤90°，在△CDE中，由正弦定理，得＝，所以DE＝＝，同理DF＝，故S△DEF＝×DE×DF×sin∠EDF＝＝，因为30°≤α≤90°，30°≤2α－30°≤150°，所以当α＝60°时，sin(2α－30°)的最大值为1，此时△DEF的面积取到最小值．即∠CDE＝60°时，△DEF的面积的最小值为.
