高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积应用案巩固提升 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题VIP免费

6.2.4向量的数量积[A基础达标]1．已知▱ABCD中∠DAB＝30°，则AD与CD的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选D.如图，AD与CD的夹角为∠ABC＝150°.2．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为()A.B.C．3D．5解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.3．(2019·北京市十一中学检测)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.解析：选C.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝()A．2B．4C．6D．12解析：选C.因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72.所以|a|2－2|a|－24＝0.解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．故选C.5．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则AB·BC等于()A．－B．C．－D．解析：选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以AB·BC＝1××cos150°＝－.6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________．解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos120°＝－3＋3×＝－.答案：－7．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．解析：根据题意得a·b＝|a|·|b|cos＝1，因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝a2＋λa·b＝＋λ＝0，所以λ＝－.答案：－8．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，AB·AC＝8，则△ABC的形状是________．解析：因为AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．答案：等边三角形9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，又|a|＝1，所以|b|＝.设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝，所以|a|·|b|cosθ＝，所以cosθ＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°.(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，所以|a－b|＝.10．已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？解：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影向量为|a|cosθe＝－e，所以cosθ＝－，所以θ＝.(2)易知a·b＝|a|·|b|cosθ＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝.[B能力提升]11．在△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形解析：选D.因为AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，所以AB2－AB·AC＝BA·BC＋CA·CB，所以AB·(AB－AC)＝BC·(BA－CA)，所以AB·CB＝BC2，所以BC·(BC＋AB)＝0，所以BC·AC＝0，所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．12．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为()A.B.C.D.解析：选D.由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.13．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD·BC＝________．解析：由DC＝2BD，所以BD＝BC，BC＝AC－AB，故AD·BC＝(AB＋BD)·BC＝·(AC－AB)＝·(AC－AB)＝AB·AC＋AC2－AB2＝|AB||AC|cos120°＋|AC|2－|AB|2＝×2×1×＋×1－×22＝－.答案：－14．设向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简即得2t2＋15t＋7<...