大题规范练(四)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知数列{an}中，a1＝511,4an＝an－1－3(n≥2)．(1)求证：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝|log2(an＋1)|，求数列{bn}的前n项和Sn.【导学号：07804235】[解](1)证明：由已知得，an＝an－1－(n≥2)，∴an＋1＝(an－1＋1)，又a1＋1＝512，∴数列{an＋1}是以512为首项，为公比的等比数列．∴an＋1＝512×＝211－2n，an＝211－2n－1.(2)bn＝|log2(an＋1)|＝|11－2n|，设数列{11－2n}的前n项和为Tn，则Tn＝10n－n2，当n≤5时，Sn＝Tn＝10n－n2；当n≥6时，Sn＝2S5－Tn＝n2－10n＋50.所以Sn＝.18．如图7所示，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝2，点P在底面上的射影在AC上，E是AB的中点．图7(1)证明：DE⊥平面PAC；(2)若PA＝PC，且PA与平面PBD所成的角的正弦值为，求二面角DPAB的余弦值．[解](1)证明：在矩形ABCD中，AB∶BC＝∶1，且E是AB的中点，∴tan∠ADE＝tan∠CAB＝，∴∠ADE＝∠CAB. ∠CAB＋∠DAC＝90°，∴∠ADE＋∠DAC＝90°，即AC⊥DE.由点P在底面ABCD上的射影在AC上，可知平面PAC⊥平面ABCD，且交线为AC，∴DE⊥平面PAC.(2)记AC与BD的交点为O， PA＝PC，且O是AC的中点，∴PO⊥AC. 平面PAC⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.取BC的中点F，连接OE，OF， 底面ABCD为矩形，∴OE⊥OF.以O为坐标原点，分别以OE，OF，OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，－，0)，B(1，，0)，D(－1，－，0)．设P(0,0，a)，则AP＝(－1，，a)．设平面PBD的法向量为c＝(x1，y1，z1)，又DB＝(2,2，0)，OP＝(0,0，a)，则有⇒令x1＝，得y1＝－1，∴平面PBD的一个法向量为c＝(，－1,0)．由＝，得a＝1.设平面PAD的法向量为m＝(x2，y2，z2)，又AD＝(－2,0,0)，AP＝(－1，，1)，则有⇒令y2＝1，得z2＝－，∴m＝(0,1，－)．设平面PAB的法向量为n＝(x3，y3，z3)，又AB＝(0,2，0)，AP＝(－1，，1)，则有⇒令x3＝1，得z3＝1，∴n＝(1,0,1)．∴cos〈m，n〉＝＝＝－，∴二面角DPAB的余弦值为－.19．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)请完成关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X.①求对商品和服务全为好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附：临界值表P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2的观测值k＝(其中n＝a＋b＋c＋d)．关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评80对商品不满意10合计200[解](1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200k＝≈11.111＞10.828，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．(2)①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X取值可以是0,1,2,3.其中P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝C＝；P(X＝2)＝C＝；P(X＝3)＝C＝.所以X的分布列为X0123P②由于X～B，则E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝.(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分)22．选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值.【导学号：07804236】[解](...
