考查角度2椭圆的标准方程与几何性质分类透析一椭圆的定义及其应用例1如图,已知椭圆的方程为x24+y23=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,则△PF1F2的面积为.解析由已知得a=2,b=❑√3,所以c=❑√a2-b2=1,F1F2=2c=2.在△PF1F2中,由余弦定理得PF22=PF12+F1F22-2PF1·F1F2cos120°,即PF22=PF12+4+2PF1.①由椭圆定义,得PF1+PF2=4,即PF2=4-PF1.②将②代入①,得PF1=65.所以S△PF1F2=12PF1·F1F2·sin120°=12×65×2×❑√32=3❑√35,即△PF1F2的面积为3❑√35.答案3❑√35方法技巧在涉及椭圆焦点的△PF1F2中,由椭圆的定义及余弦定理可得到关于PF1,PF2的方程组,消去PF2可求得PF1.分类透析二椭圆的标准方程及求解例2中心在坐标原点的椭圆,焦点在x轴上,焦距为4,离心率为❑√22,则椭圆的方程为().A.x216+y212=1B.x212+y28=1C.x212+y24=1D.x28+y24=1解析由题意知,2c=4,则c=2.又e=ca=❑√22,则a=2❑√2,故b=2,所以椭圆的方程为x28+y24=1.答案D方法技巧本题通过椭圆的简单几何性质确定其标准方程,解决此类问题时,一般先确定其焦点位置,然后建立或寻找a,b,c的等量关系,最后确定这三个数的值.分类透析三椭圆的几何性质及应用例3若点(x,y)在x24+y2b2=1(b>2)上运动,则x2+4y的最大值为.解析 x24+y2b2=1(b>2),∴x2=4(1-y2b2)≥0,即-b≤y≤b.∴x2+4y=4(1-y2b2)+4y=-4y2b2+4y+4=-4b2(y-b22)2+4+b2. b>2,∴b22>b.∴当y=b时,x2+4y取得最大值,最大值为4b.答案4b方法技巧此类最值问题常用函数思想进行解决.很多与圆锥曲线有关的问题中的各个量在运动变化时,都是相互联系、相互制约的,它们之间构成函数关系.这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路,会有很好的效果.1.(2016年全国Ⅲ卷,文12改编)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A、B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.直线BP交y轴于点M,⃗BM=2⃗MP,则C的离心率为().A.13B.12C.23D.34解析根据三角形相似,得△BMO∽△BPF,故⃗BM⃗MP=|MB||MP|=|OB||OF|=ac=2,e=ca=12,故选B.答案B2.(2018年全国Ⅱ卷,理12改编)已知F1、F2分别是椭圆C:x24+y2b2=1(00,过P作x轴的垂线并交于点H,易知△AOQ∽△AHP,所以⃗AQ⃗QP=2=|AO||OH|=2x0,得x0=1.又因为y0x0+2=12,所以得y0=32,又因为点P在椭圆上,所以14+(32)2b2=1,解得b=❑√3.(法二)由题意知,A(-2,0),Q(0,1).因为⃗AQ=2⃗QP,所以P(1,32),代入椭圆方程得14+94b2=1,解得b2=3,则b=❑√3,故选B.答案B3.(2018年浙江卷,17改编)已知点F1(-c,0)、F2(c,0)(c>0)分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是这个椭圆上位于x轴上方的点,点G是△PF1F2的外心,若存在实数λ,使得⃗GF1+⃗GF2+λ⃗GP=0,则当△PF1F2的面积为8时,a的最小值为.解析因为点G是△PF1F2的外心,所以点G在y轴的正半轴上,又⃗GF1+⃗GF2+λ⃗GP=0,则⃗GP=-1λ(⃗GF1+⃗GF2)=-2λ⃗GO,所以P,G,O三点共线,即P位于上顶点,则△PF1F2的面积S=12·b·2c=bc=8.由a2=b2+c2≥2bc=16,得a≥4,当且仅当b=c=2❑√2时取等号,所以a的最小值为4.答案41.(山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试)若椭圆x24+y2m=1上一点到两焦点的距离之和为m-3,则椭圆的离心率为().A.❑√53B.❑√53或❑√217C.❑√217D.37或59解析由题意知,2a=m-3>0,即m>3,若a2=4,即a=2,则m-3=4,m=7>4,不合题意,因此a2=m,即a=❑√m,则2❑√m=m-3,解得m=9,即a=3,c=❑√m-4=❑√5,所以椭圆的离心率e=❑√53.故选A.答案A2.(山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试)设F1,F2分别是椭圆C:x2m+y22=1的两个焦点,若C上存在点M满足∠F1MF2=120°,则实数m的取值范围是().A.(0,12]∪[8,+∞)B.(0,1]∪[8,+∞)C.(0,12]∪[4,+∞)D.(0,1]∪[4,+∞)解析由椭圆的性质可知,当点M在短轴的端点时,此时∠F1MF2最大.如图,要使得椭圆C上存在点M满足∠F1MF2=120°,则∠F1M0F2≥120°,即∠OM0F2≥60°.当m>2时,|OM0||M0F2|=ba=cos∠OM0F2≤cos60°=12,即❑√2❑√m≤12,解得m≥8;当0
