专题12立体几何大题部分【训练目标】1、掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积；2、掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假；3、掌握空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法；4、掌握等体积法求点面距；5、掌握几何体体积的几种求法；6、掌握利用空间向量解决立体几何问题。7、掌握常见几何体的外接球问题。【温馨小提示】立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在17分到22分之间，对于大多数人来说，立体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和距离的求法，特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。【名校试题荟萃】1、已知直三棱柱中，，为中点，，.⑴求证：平面；⑵求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：连结交于点，连结，则和分别为和的中点，所以，而平面，平面，所以平面.（2）因为平面，所以点和到平面的距离相等，从而有.2、如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，是正三角形，是的中点．（1）求证：；（2）判定是否平行于平面，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）平行（2）平行于平面，理由如下：取的中点为，连接．可知，又，所以四边形为平行四边形，故.又平面平面，所以平面.3、在四棱锥中，平面，且底面为边长为2的菱形，，．（1）证明：面面；（2）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及其理由），并求四面体的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为平面，，所以，在菱形中，，且，所以，又因为，所以面．（2）取的中点，连接，，易得是等边三角形，所以，又因为平面，所以，又，所以，在面中，过作于，即是点在平面内的正投影，则，又，所以，经计算得，在中，，，，，．4、如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，△，△，△都是正三角形。（1）证明：直线∥面；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值是，若不存在请说明理由，若存在请求出点所在的位置。【答案】（1）见解析（2）为中点（本题可先证明后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。）（2）设的中点为，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。易知，，，,.设，.可得，5、如图，在三棱锥中，底面，，，，为的中点．（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）4【解析】（1）在中，由余弦定理得，则．因为为的中点，则．因为，则，所以．因为，则．（5分）因为底面，则，所以平面，从而．（2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图．设，则点，，．所以，．6、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；（2）当二面角D－FC－B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．【答案】（1）点E为棱AB的中点（2）60°【解析】（1）在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且FQ＝CD，AE∥CD且AE＝CD，故AE∥FQ且AE＝FQ.所以，四边形AEQF为平行四边形.所以，AF∥EQ，又EQ?平面PEC，AF?平面PEC，所以，AF∥平面PEC.设平面FBC的法向量为m＝，则由得令x＝1，则y＝，z＝，所以取m＝，显然可取平面DFC的法向量n＝，由题意：＝＝，所以a＝.由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝＝a＝，从而∠PBD＝60°，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60°.7、已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别是A′B和B′C′的中点。（1）证明：MN∥平面AA′C′C；（2）设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）（2）连接BN，设A′A＝a，则AB＝λa，由题意知BC＝λa，NC＝BN＝， 三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，∴平面A′B′C′⊥平面BB′C′C， AB＝AC...
