同步检测训练一、选择题1．(2008·全国Ⅰ)若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝ln＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝()A．e2x－1B．e2xC．e2x＋1D．e2x＋2答案：B解析： 函数y＝ln＋1的反函数为y＝e2(x－1)，即f(x－1)＝e2(x－1)，∴f(x)＝e2x，故选B.2．(2008·北京)“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：若函数f(x)在R上为增函数，则x与y一一对应，故存在反函数，∴必要性成立；若函数f(x)存在反函数，则x与y一一对应，函数f(x)在R上也可能是减函数，∴充分性不成立，故选B.3．函数y＝的反函数是()A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝答案：C解析：本题考查求分段函数的反函数．y＝，当x≥0，x＝，∴y＝.当x<0，x＝－，∴y＝－.∴y＝故选C.4．(2009·郑州一测)定义在R上的函数f(x)的反函数为f－1(x)，且对于任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝3，则f－1(x－1)＋f－1(4－x)＝()A．0B．－2C．2D．2x－4答案：A解析：由f(－x)＋f(x)＝3可知函数y＝f(x)的图象关于点(0，)对称，因此其反函数y＝f－1(x)的图象必关于点(，0)对称，即有f－1(x)＋f－1(3－x)＝0，故f－1(x－1)＋f－1[3－(x－1)]＝0，即f－1(x－1)＋f－1(4－x)＝0，选A.5．已知函数f(x)＝的反函数f－1(x)的图象的对称中心是，则函数h(x)＝loga(x2－2x)的单调递增区间是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－∞，0)D．(2，＋∞)答案：C解析：由已知得f(x)＝－1－知，其对称中心是点(a＋1，－1)，因此，其反函数f－1(x)的对称中心是点(－1，a＋1)，结合题意得a＋1＝，a＝.因此函数h(x)的单调递增区间由确定，由此解得x<0，即函数h(x)的单调递增区间是(－∞，0)．故选C.6．设函数f(x)＝的反函数为f－1(x)，且f－1＝a，则f(a＋7)等于()A．－2B．－1C．1D．2答案：A解析：当x>4时，f(x)＝－log3(x＋1)<－log35<0；当x≤4时，00,2a－4＝＝2－3，a＝1，f(a＋7)＝f(8)＝－log39＝－2.故选A.7．已知函数f(x)＝的反函数为f－1(x)，若函数y＝g(x)的图象与函数y＝f－1(x＋1)的图象关于直线y＝x对称，且g(3)＝，则实数a的值为()A．2B．1C．－1D.答案：A解析：由题意得f－1(x)＝，∴f－1(x＋1)＝，又 g(3)＝，∴y＝中的x＝，y＝3，代入解得a＝2，故选A.8．(2009·湖北八校联考)已知函数f(x)＝(ex＋ex－2)(x<1)(其中e是自然对数的底数)的反函数为f－1(x)，则有()A．f－1()f－1()C．f－1()f－1(2)1答案：A解析： 函数f(x)＝(ex＋ex－2)＝ex是一个单调递增函数，∴f－1(x)在(0，＋∞)上也是单调递增函数．又 x<1，∴f(x)＝ex0，∴>，∴<<2.∴在x<1时，函数f(x)＝(ex＋ex－2)的值域为(0，)，其中<<2，故选A.二、填空题9．(2009·成都模拟)设函数f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)为y＝f(x)的反函数，若函数g(x)＝则g[g(－1)]＝__________.答案：1解析：依题意得g(－1)＝－1＋2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f－1(1)．设f－1(1)＝t，则有f(t)＝1，即e2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1.10．已知y＝f(x)在定义域(0，＋∞)内存在反函数，且f(x－1)＝x2－2x＋1，则f－1(7)＝__________.答案：解析：设x－1＝t，则x＝1＋t，所以f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋1＝t2，即f(x)＝x2(x>0)，设f－1(7)＝a，则f(a)＝a2＝7，故a＝.11．(2009·湖北五市联考)函数f(x)＝的反函数为f－1(x)，则f－1(18)＝________.答案：4解析：设f－1(18)＝m，∴f(m)＝18，∴x2＋2＝18，得x＝±4，又x≥0，∴x＝4.三、解答题12．求下列函数的反函数(1)y＝(x<－1)；(2)y＝－(x≥1)；(3)y＝x|x|＋2x.解：(1)y＝＝2＋，在x<－1时为减函数，存在反函数，原函数值域为{y|－
