高考数学复习点拨 函数单调性应用的四个层次VIP免费

函数单调性应用的四个层次函数的单调性是函数的重要性质之一，也是高中数学学习的一个难点，为了帮助同学们掌握这部分内容，我们可以从以下四个方面入手．一、正面应用——掌握规范的操作程序函数的定义是证明函数单调性最基本，最常用的方法．例1已知函数2(0)fxaxbxca，求证：fx在区间2ba，上是减函数，在区间2ba，上为增函数．分析：二次函数fx的图象当0a时开口向上，显然在区间2ba，上是减函数，在区间2ba，上为增函数．证明：任取1x，2xR，且12xx，则22121122fxfxaxbxcaxbxc221212axxbxx1212xxaxxb，由题知，当122bxxa时，12bxxa，120axxb．又120xx，120fxfx．故2(0)fxaxbxca在区间2ba，上是减函数．同理可证2(0)fxaxbxca在区间2ba，上是增函数．二、逆向应用——培养逆向思维能力学会概念的逆向使用，对于培养同学们的逆向思维能力是大有好处的．例2设)(xf是定义在（),0上的增函数，且满足)()()(yfxfxyf．用心爱心专心若1)3(f，且2)1()(afaf，求实数a的取值范围．解：因为)()()(yfxfxyf且1)3(f，所以)9()3()3()3(22ffff，又2)1()(afaf，所以)9()1()(fafaf，再由)()()(yfxfxyf可知，)1(9)(afaf．又因为)(xf是定义在),0(上的增函数，从而有)1(90)1(90aaaa，解得：918a．故所求实数a的取值范围为918a．三、灵活应用——提高解决问题的能力由函数单调的定义易知，任何一个单调函数，在其单调区间上每一个自变量与函数值之间都是一一对应的．应用此性质解题是单调函数概念运用的一个重要方面．例3给定函数1()((0,))fxxxx．问在函数)(xfy的图象上是否存在两个不同的点，使得过这两点的直线与x轴平行，并证明你的结论．解：下面证明xxxf1)(在(0,)x上是增函数．任取),0(,21xx，且21xx．则2121212121221121)1)(()11()()1()1()()(xxxxxxxxxxxxxxxfxf因为012xx，所以01,0,0212121xxxxxx．所以12121212()(1)()()0xxxxfxfxxx，即：)()(21xfxf．所以)(xf在),0(上是增函数．从而对函数图象上任意两点1122(,()),(,())AxfxBxfx，当21xx时，一定有)()(21xfxf．因此，在函数)(xfy的图象上不存在两个不同的点，使得过这两点的直线与x轴平行．四、构造应用，培养创造能力应用单调函数解题的创造性体现在：通过已知条件进行联想，从而发现或构造出单调函数，再利用函数的单调性解题．用心爱心专心例4已知yx,为实数，且满足1)1(1997)1(1)1(1997)1(33yyxx，则_________yx．解：由已知条件，可得：33(1)1997(1)1(1)1997(1)1xxyy．故若设tttf1997)(3，则上述条件即为：1)1()1(yfxf．又易知函数tttf1997)(3在R上是增函数，所以由上式有：yx11，即：2yx．用心爱心专心