函数单调性应用的四个层次函数的单调性是函数的重要性质之一,也是高中数学学习的一个难点,为了帮助同学们掌握这部分内容,我们可以从以下四个方面入手.一、正面应用——掌握规范的操作程序函数的定义是证明函数单调性最基本,最常用的方法.例1已知函数2(0)fxaxbxca,求证:fx在区间2ba,上是减函数,在区间2ba,上为增函数.分析:二次函数fx的图象当0a时开口向上,显然在区间2ba,上是减函数,在区间2ba,上为增函数.证明:任取1x,2xR,且12xx,则22121122fxfxaxbxcaxbxc221212axxbxx1212xxaxxb,由题知,当122bxxa时,12bxxa,120axxb.又120xx,120fxfx.故2(0)fxaxbxca在区间2ba,上是减函数.同理可证2(0)fxaxbxca在区间2ba,上是增函数.二、逆向应用——培养逆向思维能力学会概念的逆向使用,对于培养同学们的逆向思维能力是大有好处的.例2设)(xf是定义在(),0上的增函数,且满足)()()(yfxfxyf.用心爱心专心若1)3(f,且2)1()(afaf,求实数a的取值范围.解:因为)()()(yfxfxyf且1)3(f,所以)9()3()3()3(22ffff,又2)1()(afaf,所以)9()1()(fafaf,再由)()()(yfxfxyf可知,)1(9)(afaf.又因为)(xf是定义在),0(上的增函数,从而有)1(90)1(90aaaa,解得:918a.故所求实数a的取值范围为918a.三、灵活应用——提高解决问题的能力由函数单调的定义易知,任何一个单调函数,在其单调区间上每一个自变量与函数值之间都是一一对应的.应用此性质解题是单调函数概念运用的一个重要方面.例3给定函数1()((0,))fxxxx.问在函数)(xfy的图象上是否存在两个不同的点,使得过这两点的直线与x轴平行,并证明你的结论.解:下面证明xxxf1)(在(0,)x上是增函数.任取),0(,21xx,且21xx.则2121212121221121)1)(()11()()1()1()()(xxxxxxxxxxxxxxxfxf因为012xx,所以01,0,0212121xxxxxx.所以12121212()(1)()()0xxxxfxfxxx,即:)()(21xfxf.所以)(xf在),0(上是增函数.从而对函数图象上任意两点1122(,()),(,())AxfxBxfx,当21xx时,一定有)()(21xfxf.因此,在函数)(xfy的图象上不存在两个不同的点,使得过这两点的直线与x轴平行.四、构造应用,培养创造能力应用单调函数解题的创造性体现在:通过已知条件进行联想,从而发现或构造出单调函数,再利用函数的单调性解题.用心爱心专心例4已知yx,为实数,且满足1)1(1997)1(1)1(1997)1(33yyxx,则_________yx.解:由已知条件,可得:33(1)1997(1)1(1)1997(1)1xxyy.故若设tttf1997)(3,则上述条件即为:1)1()1(yfxf.又易知函数tttf1997)(3在R上是增函数,所以由上式有:yx11,即:2yx.用心爱心专心