专题30等差数列【学习目标】1.等差数列的定义，通项公式，递推公式，性质及求和公式.2.掌握待定系数法，利用数列公式列方程解方程.【知识要点】1．等差数列定义an＋1－an＝d(常数)2．等差中项在两个数a与b之间插入一个常数A，使a，A，b成等差数列，则把叫做a与b的等差中项，A＝，即a＋b＝．3．等差数列的通项公式an＝．4．等差数列的公差(1)d＝an－an－1；(2)d＝；(3)d＝.等差数列通项公式与函数的关系：通项公式an＝a1＋(n－1)d可以写成an＝dn＋(a1－d)，它是关于n的一次函数(d≠0时)或常函数(d＝0时)，它的图象是一条直线上横坐标为正整数的一群孤立的点，公差d是这条直线的斜率．5．常用的等差数列的性质(1)若m＋n＝p＋q，则(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则．(2)an＝a1＋(n－1)d可推广为．(3)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为____．(4)设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列，公差为____．6．等差数列前n项的和Sn(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等差数列的前n项和Sn与函数的关系：当d≠0时，Sn＝n2＋n，Sn是关于n的二次函数，它的图象是过原点的抛物线上横坐标为正整数的一群孤立点；当d＝0时，Sn＝na1，它的图象是一条射线上横坐标为正整数的一群孤立点．(3)若{an}，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn和Tn，则＝.【方法总结】1.判断给定的数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：在所给数列{an}中，任取相邻两项，使得an－an－1＝d(n∈N*且n≥2)，只需说明d是一个与n无关的常数即可.(2)通项公式：对给定数列{an}，若能总结出它的通项公式an＝bn＋m(b，m为常数)，说明an是n的一次函数即可.(3)求和公式法：若能求得数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b为常数)是关于n的一个没有常数项的二次函数即可.(4)等差中项法：an＋1＋an－1＝2an(n∈N*且n≥2).2.求等差数列的通项公式常用的方法(1)由定义采用迭加法.(2)由定义采用不完全归纳法.(3)an＝由Sn求通项公式an＝f(n)时需分n＝1与n≥2两种情况分别进行计算，然后验证两种情况可否用统一式子表示，否则就用分段函数表示.3.常用的方法与技巧(1)三数成等差数列的设法：a－d，a，a＋d，d为公差；四数成等差数列的设法：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.(2)会用方程的思想处理等差数列的有关问题等差数列的通项公式与前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二”).解等差数列问题的基本方法是方程法，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换，使运算更加迅速和准确.【高考模拟】：一、单选题1．等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（，解出．即可．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．2．已知下列四个命题：：函数的零点所在的区间为；：设，则是成立的充分不必要条件；：已知等腰三角形的底边的长为，则8；：设数列的前n项和，则的值为15．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】利用对应的知识逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】对于命题：，所以函数f(x)在（1,2）单调递增，因为，所以函数的零点不在区间内,所以该命题是假命题；对于命题：由于x＜0是的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；对于命题：,所以该命题是真命题；对于命题：,所以该命题是真命题.故答案为：B【点睛】本题主要考查零点问题，考查充要条件的判断，考查数量积的计算和项和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3．设列的前项和，，若数列的前项和为，则（）A．8B．9C．10D．11【答案】C【解析】【分析】首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．【详解】Sn为等差数列{an}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则an=4+（n﹣4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．【考点】等差数列性质、裂项相消求和.【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形...
