高中数学立体几何中的最值问题海红楼立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。一、运用变量的相对性求最值例1.在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，底面边长为，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（）A.B.C.2D.1解析：如图1，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当OQ最小时，PQ最小。过O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，中。又P在BD上运动，且当P运动到点O时，PQ最小，等于OQ的长为，也就是异面直线BD和SC的公垂线段的长。故选B。图1二、定性分析法求最值例2.已知平面α//平面β，AB和CD是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB与平面α成30°角，则线段CD的长的最小值为______。解析：如图2，过点B作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。过B作BE//CD交平面α于E，则BE=CD。连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则在Rt△ABE中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan∠BAO=3·tan30°=。故。图2三、展成平面求最值例3.如图3-1，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（）A.2aB.2bC.2cD.a+b+c图3-1解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A与A’、D与D’在四面体中是同一点，且，，A、C、A’共线，D、B、D’共线，。又四边形PQRS在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S在四面体中是同一点。因而当P、Q、R在S’S上时，最小，也就是四边形PQRS周长最小。又，所以最小值。故选B。图3-2四、利用向量求最值例4.在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值为_______。解析：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x，y，z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。根据题意设P（x，0，x），则，，那么图4式子可以看成x轴正半轴上一点（x，0，0）到xAy平面上两点、的距离之和，其最小值为。所以GP+PB的最小值为。
