数列顽症迎刃而解2008-3-29数列是高中数学的重要内容，更是高考的命题重点，但有关知识点却有不少同学掌握得不怎么好，甚至时间长了对数列试题产生恐惧心理，见到与数列有关的试题就觉得心里没底。本文针对一部分同学学习数列时存在的弄不懂、记不住、易出错、用不活等问题，结合近几年来高考试卷中出现过的一些典型数列例题，给出了若干常规处理办法，供同学们参考。症状一基本问题耗时太多【表现】对一些有特殊结构的等差（等比）数列基本题，做不对或能做对但耗时太多。如：在等差数列中，若，是数列前项的和，则等于（）A.48B.54C.60D.66参考答案：B【症结】这类题目往往要求灵活运用等差（等比）数列的性质求解。【突破之道】熟记有关规律：若是等差数列，，且，则有，特别地，；又若是等比数列，，且，则有。例1已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A.2B.3C.4D.5【解析】灵活应用等差数列的性质解题，由得而，，代入上式化简得，易验证当时，取整数，所以选D。症状二迁移运用能力不强【表现】对教材中的内容形式稍加变化的试题不知如何做。如：在数列中（是常数，），且成公比不为1的等比数列，（1）求的值，（2）求的通项.参考答案：（1）=2（2）【症结】对教材中讨论过的一些基本方法（如叠加法、叠乘法、逆向相加法、错位相减法）等未能实现灵活的迁移、运用。【突破之道】对教材中相关的内容，盖上书上的答案，尝试自行推导，去体会这些解题过程中蕴含的方法技巧，如有自己的感悟，就及时记下。例2已知数列满足，，试求数列的的通项.【解析】由题意有，，，，把上面个式子用叠加法相加得症状三递推关系题入手难【表现】对形如“已知，且，求通项”的数列问题不知该如何求解【症结】对高考试题中的一些典型数列问题（如差等比数列）缺乏系统的求解方法【突破之道】差等比数列是高考数列问题的典型。一阶差等比数列问题解题的关键是找到一个适当常数，为等比数列，如何找到常数呢？若常数满足，，其中为常数，且（因为的情形很简单，可直接求通项，此处从略）。存在常数，使为等比数列，其中的参数由特征方程给出，从而，可将新问题转化为一个比较简单的问题。例3已知数列满足，，求数列的通项.解析若能注意到，于是可视数列是以首项，公比为的等比数列，于是利用等比数列的通项公式得，即.症状四缺乏与的辩证思考【表现】对以或型给出的递推关系试题不知如何下手，如：设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项。（1）写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式（写出推理过程）；（3）令，求参考答案：略【症结】对适用于任意数列的重要关系式未掌握和灵活运用之。【突破之道】对于任意数列有（适用于任意数列的重要关系式），这表明构成了一个新的数列，它的通项表示相应数列的前项和，它的第一项表示数列的第一项，当时，数列相邻项的差，这就是数列与其和数列之间的辩证关系。另外，某些特殊数列可以通过适当的变化（如裂项相消）以后求和。例4已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，，（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前项和，求证：，.解析（1）令，得解得（注意条件，舍去）；若，则由得，两式相减得，，整理即得，由题意有（），（）于是数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则，（）（2）略。对于一般数列，若已知条件为，求通项的方法，除了用“尝试——猜想——探求——发现”（最后用数学归纳法严格证明）思维模式外，还有其他的处理方法，由首先推出，解除的大小，接着常有两个思考方向：（1）当时，，问题转化为与（）的关系问题（前面已求出），求出后，可用，（）求出数列的通项；（2）利用递推关系作差技巧，由得（），而（），两式相减即得，于是我们就把问题转化为与之间的问题了（一般情况下，转化到这一步问题就比较容易解决了）。
