2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题七系列4选讲第一讲坐标系与参数方程课时作业文1．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．解析：(1)由已知可得A(2cos，2sin)，B(2cos(＋)，2sin(＋))，C(2cos(＋π)，2sin(＋π))，D(2cos(＋)，2sin(＋))，即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．2．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ＝1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T.求|TM|·|TN|的取值范围．解析：(1)依题，因为ρ2＝x2＋y2，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝1，所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，又y＝ρsinθ，所以ρ2－2ρsinθ＝0，即曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)解法一由题令T(x0，y0)，y0∈(0,1]，切线MN的倾斜角为θ，所以切线MN的参数方程为(t为参数)．联立C2的直角坐标方程得，t2＋2(x0cosθ＋y0sinθ－sinθ)t＋1－2y0＝0，即由直线参数方程中t的几何意义可知，|TM|·|TN|＝|1－2y0|，因为1－2y0∈[－1,1)，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．解法二设点T(cosα，sinα)，则由题意可知当α∈(0，π)时，切线与曲线C2相交，由对称性可知，当α∈时切线的倾斜角为α＋，则切线MN的参数方程为(t为参数)，与C2的直角坐标方程联立，得t2－2tcosα＋1－2sinα＝0，则|TM|·|TN|＝|t1t2|＝|1－2sinα|，因为α∈，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．3．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|－|BD|.解析：(1)由题意可得C2：＋y2＝1，l：(t为参数)．(2)将代入＋y2＝1，整理得5t2＋4t－4＝0.设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－，1且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos30°＝，故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋＝.4．已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．(1)用x，y，θ0表示m，n；(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．解析：(1)由题意知且所以所以(2)由(1)可知又mn＝1，所以＝1.整理得－＝1.∴－＝1即为所求方程．2
