课下层级训练(三十九)空间向量的运算及应用[A级基础强化训练]1．如图，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，则NM＝()A．(－a＋b＋c)B．(a＋b－c)C．(a－b＋c)D．(－a－b＋c)【答案】B[NM＝NA＋AM＝(OA－ON)＋AB＝OA－OC＋(OB－OA)＝OA＋OB－OC＝(a＋b－c)．]2．已知四边形ABCD满足：AB·BC＞0，BC·CD＞0，CD·DA＞0，DA·AB＞0，则该四边形为()A．平行四边形B．梯形C．长方形D．空间四边形【答案】D[由AB·BC＞0，BC·CD＞0，CD·DA＞0，DA·AB＞0，知该四边形一定不是平面图形．]3．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定【答案】B[如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.]4．如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A．B．C．1D．【答案】D[ BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，故|BD|＝.]5．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC·AP的取值范围是()A．(0,1)B．[0,1)C．[0,1]D．[－1,1]【答案】C[如图所示，由题意，设BP＝λBD1，其中λ∈[0,1]，DC·AP＝AB·(AB＋BP)＝AB·(AB＋λBD1)＝AB2＋λAB·BD1＝1＋λ·＝1－λ∈[0,1]．因此DC·AP的取值范围是[0,1]．]6．在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB＋(BD＋BC)＝________.【答案】AG[依题意有AB＋(BD＋BC)＝AB＋×2BG＝AB＋BG＝AG.]7．如图，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.(用a，b，c表示)【答案】a＋b＋c[OE＝OA＋OD＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.]8．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.【答案】[|EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF|＝，∴EF的长为.]9．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的各个面都是平行四边形，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.(1)求证：A、E、C1、F四点共面；(2)已知EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．【答案】(1)证明 AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA1＝＋＝(AB＋BE)＋(AD＋DF)＝AE＋AF.又AC1、AE、AF有公共点A，∴A、E、C1、F四点共面．(2)解 EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1.∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝a，AB＝b，AD＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．(1)试用a，b，c表示MN；(2)求证：MN∥平面ABB1A1.【答案】(1)解 A1D＝AD－AA1＝c－a，∴A1M＝A1D＝(c－a)．同理，A1N＝(b＋c)，∴MN＝A1N－A1M＝(b＋c)－(c－a)＝(b＋a)＝a＋b.(2)证明 AB1＝AA1＋AB＝a＋b，∴MN＝AB1，即MN∥AB1， AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，∴MN∥平面ABB1A1.[B级能力提升训练]11．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B．a2C．a2D．a2【答案】C[AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.]12．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A．AE·BC
AE·CDD．AE·BC与AE·CD的大小不能比较【答案】C[取BD的中点F，连接EF，则EF∥CD且EF＝CD.因为AE⊥BC，〈AE，EF〉＝〈AE，CD〉>90°，所以AE·BC＝0，AE·CD<0，因此AE·BC>AE·CD.]13．A，B，C，D是空间不共面四点，且AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个)【答案】锐角[因为BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB2＝AB2>0，所以∠CBD为锐角．同理∠BCD，∠BDC均为锐角．]14．已知ABCDA1B1C1D1为正方体，①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确...
