2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综合应用教师用书文新人教版1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．2．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．【知识拓展】1．若G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0.2．若直线l的方程为：Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．(√)(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(×)(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(×)(4)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．(×)(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(√)1．(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析AB＝(2，－2)，AC＝(－4，－8)，BC＝(－6，－6)，∴|AB|＝＝2，|AC|＝＝4，|BC|＝＝6，∴|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，∴△ABC为直角三角形．2．已知在△ABC中，|BC|＝10，AB·AC＝－16，D为边BC的中点，则|AD|等于()A．6B．5C．4D．3答案D解析在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝BC2，又AB·AC＝|AB|·|AC|·cosA＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以AB＋AC＝2AD，两边平方得4|AD|2＝68－32＝36，解得|AD|＝3，故选D.3．(2017·武汉质检)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4，则点P的轨迹方程是____________．答案x＋2y－4＝0解析由OP·OA＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.4．(2016·银川模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为________．答案4解析设a与b夹角为α， |2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cosα＝8－8cosα， α∈[0，π]，∴cosα∈[－1,1]，∴8－8cosα∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，∴|2a－b|∈[0,4]．∴|2a－b|的最大值为4.5．(2016·江西八校联考)在△ABC中，AB＝(，)，AC＝(1，)，则△ABC的面积为________．答案1－解析 cos∠BAC＝＝，∴sin∠BAC＝，∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin∠BAC＝1－.题型一向量在平面几何中的应用例1(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB＝________.(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心答案(1)(2)C解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE＝FD，∴BE＝FD＝AD－AB，又 AC＝AD＋AB，∴AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝AD2－AD·AB＋AD·AB－AB2＝|AD|2＋|AD||AB|cos60°－|AB|2＝1＋×|AB|－|AB|2＝1.∴|AB|＝0，又|AB|≠0，∴|AB|＝.(2)由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．引申探究本例(2)中，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．答案内心解析由条件，得OP－OA＝λ，即AP＝λ，而和分别表示平行于AB，AC的单位向量，故＋平分∠BAC，即AP平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的...
