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高考数学复习点拨 充要条件所涉及的问题及解法VIP免费

高考数学复习点拨 充要条件所涉及的问题及解法_第1页
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充要条件所涉及的问题及解法充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.所涉及的问题及解决方法主要有:(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念:当“若p则q”形式的命题为真时,就记作pq,称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“”要熟悉它的各种同义词语:“等价于”,“当且仅当”,“必须并且只需”,“……,反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据,又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看,若AB,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A、B互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).下面例举几例加以说明.例1.已知p:|1-31x|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.分析:利用等价命题先进行命题的等价转化,搞清晰命题中条件与结论的关系,再去解不等式,找解集间的包含关系,进而使问题解决.解:由题意知:命题:若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p是q的充分不必要条件.p:|1-31x|≤2-2≤31x-1≤2-1≤31x≤3-2≤x≤10q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0*∵p是q的充分不必要条件,∴不等式|1-31x|≤2的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)解集的子集.又∵m>0,∴不等式*的解集为1-m≤x≤1+m∴9110121mmmm,∴m≥9,∴实数m的取值范围是[9,+∞).评述:本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象,同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用,强调了知识点的灵活性.本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化,使同学们对充要条件的难理解变得简单明了.例2.已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.分析:由an=)2()1(11nSSnSnn关系式去寻找an与an+1的比值,但同时要注意充分性的证明.解:a1=S1=p+q.用心爱心专心当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),∵p≠0,p≠1,∴)1()1(1ppppnn=p若{an}为等比数列,则nnaaaa112=p,∴qppp)1(=p,∵p≠0,∴p-1=p+q,∴q=-1,这是{an}为等比数列的必要条件.下面证明q=-1是{an}为等比数列的充分条件.当q=-1时,∴Sn=pn-1(p≠0,p≠1),a1=S1=p-1当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=pn-1(p-1)∴an=(p-1)pn-1(p≠0,p≠1),211)1()1(nnnnppppaa=p为常数∴q=-1时,数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q=-1.评述:本题重点考查充要条件的概念,以等比数列的判定为主线,解答时应抓住数列前n项和与通项之间的递推关系,严格利用定义去判定.用心爱心专心

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