高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第8节 直线与圆锥曲线的综合问题 第3课时 圆锥曲线中的定点和定值问题课时跟踪检测 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第3课时圆锥曲线中的定点和定值问题A级·基础过关|固根基|1.已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证：直线AB恒过定点．解：(1)由题意知，动点P到定点M(0，2)的距离等于到定直线y＝－2的距离，所以根据抛物线的定义有x2＝8y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.则OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16，解得b＝4，所以直线AB恒过定点(0，4)．2．已知椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)过A(2，0)，B(0，1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．解：(1)由题意知，a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.因为c＝＝，所以椭圆C的离心率e＝＝.(2)证明：设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.因为A(2，0)，B(0，1)，所以直线PA的方程为y＝(x－2)，令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.又直线PB的方程为y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|＝·＝＝＝2，所以四边形ABNM的面积为定值2.3．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|＝2，∠PF2Q＝90°，且△PF2Q的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l不经过点A(0，1)，且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由对称性易知四边形PF1QF2为平行四边形，又∠PF2Q＝90°，所以▱PF1QF2为矩形，所以|F1F2|＝|PQ|＝2，所以c＝1.因为S△PF1F2＝S△PF2Q＝1，所以|PF1|·|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝4，所以a2＝2，所以b2＝1，所求椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)证明：设l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，1则x1＋x2＝，x1x2＝，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，y1y2＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.综合题意知AM·AN＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝0，即3m2－2m－1＝0.又直线不过A(0，1)，所以m≠1，所以m＝－，所以l：y＝kx－，故l必过定点.4.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，直线x＝－a与y＝b交于点D，且|BD|＝3，过点B作直线l交直线x＝－a于点M，交椭圆于另一点P.(1)求椭圆的方程；(2)求证：OM·OP为定值．解：(1)由题可得所以所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：由(1)知A(－2，0)，B(2，0)．设M(－2，y0)，P(x1，y1)，则OP＝(x1，y1)，OM＝(－2，y0)．直线BM的方程为y＝－(x－2)，即y＝－x＋y0，代入椭圆方程x2＋2y2＝4，得x2－x＋－4＝0，即(8＋y)x2－4yx＋4y－32＝0，由韦达定理得，2x1＝，所以x1＝，所以y1＝，所以OM·OP＝－2x1＋y0y1＝－＋＝＝4，即OM·OP为定值4.B级·素养提升|练能力|5.已知焦距为2的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．解：(1) 四边形ABPQ是平行四边形，∴|AB|＝|PQ|. |PQ|＝2|OB|，∴|AB|＝2|OB|，则点B的横坐标为，∴点Q的坐标为，代入椭圆C的方程得b2＝2.又c2＝2，∴a2＝4，即椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：设直线MN的方程为y＝k(x＋2)，N(x0，y0)，DA⊥AM，∴D(2，4k)．由消去y得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，2则－2x0＝，即x0＝，∴y0＝k(x0＋2)＝，则N，设G(t，0)，则t≠－2，若以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，则DG⊥AN，∴GD·AN＝0恒成立． GD＝(2－t，4k)，AN＝，∴GD·AN＝(2－t)·＋4k·＝0恒成立，即＝0恒成立，∴t＝0，∴点G是定点(0，0)．6．(2019届西安市八校联考)已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：＋＝1的右焦点...