g3.1065空间的角一．知识回顾：1．异面直线所成角的定义：．2．直线与平面所成角：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则．（2）直线与平面垂直，则．（3）直线是平面的斜线，则定义为．3．最小角定理：．4．二面角的概念：．5．二面角的平面角：．6．求二面角平面角大小的一般方法：．二．基础训练：1．二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的度数是（）2．已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是（）3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题：DECBA，这个命题的真假性是．4．在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的角为，则二面角的大小为．三．例题分析：例1.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．（1）与是否相互垂直，请证明你的结论；（2）求二面角的大小；（3）求证：平面⊥平面．解：（1）与相互垂直.证明如下：取的中点，连结，交于点；连结．∵，∴．又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面．在梯形中，可得，∴，即，∴．（2）连结，由⊥平面，，可得，∴为二面角的平面角，设，则在中，∴二面角为．（3）取的中点，连结，由题意知：平面⊥平面，则同“（1）”可得平面．取的中点，连结，则由，，得四边形为平行四边形.∴，∴⊥平面．∴平面⊥平面．解答二：取的中点，由侧面⊥底面，是等边三角形，得⊥底面．以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则在直角梯形中，，在等边三角形中，．∴（1）与相互垂直.证明如下：∵∴．（2）连结，设与相交于点；连结．由得．又∵为在平面内的射影，∴，为二面角的平面角．在中，．在中，．∴二面角为．（3）取的中点，连结，则的坐标为．·B1PACDA1C1D1BOH·又，，∴．∴∴⊥平面．∴平面⊥平面．小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．例2.在的二面角中，，已知、到的距离分别是和，且，、在的射影分别为、，求：（1）的长度；（2）和棱所成的角．例3.棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且．（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设点在平面上的射影是，求证：．例4.在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，分别是的中点．（1）证明；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离．例5.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1的长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，又E是C1D1的中点；（1）CE与BD1所成角的余弦值；（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；（3）求二面角B－DC1－C的平面角的大小四、作业同步练习g3.1065空间的角3．过正方形的顶点，引⊥平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是（）DACA1B1C1D1BEDECBA4．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围（）或5．在正三棱柱中，已知，在上，且，若与平面所成的角为，则（）6．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是，则的范围是（）7．已知是两条异面直线的公垂线段，，则所成的角为．8．在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的角为，则二面角的大小为．9.在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是中点，作交于．（1）证明平面：（2）证明平面；（3）求二面角的大小．10.如图直四棱柱中，底面是直角梯形，设，,异面直线与互相垂直，（1）求证：平面；（2）求侧棱的长；（3）已知，求与平面所成的角．D1C1B1A1DCBA
