考点39曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.(2017·全国丙卷·文科·T2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【命题意图】本题考查复数的运算.【解析】选C.由题意知:z=-1-2i.二、填空题2.(2017·天津高考文科·T12)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.【命题意图】综合考查抛物线性质与圆的方程.考查转化的思想和通过坐标法利用向量工具解题的能力.【解析】方法一:设圆心坐标为C(-1,m),则A(0,m),焦点F(1,0),=(-1,0),=(1,-m),cos∠CAF===-,m=±,由于圆C与y轴的正半轴相切,则取m=,所求圆得圆心为(-1,),半径为1,所求圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.答案:(x+1)2+(y-)2=1方法二:由题意知此抛物线的焦点为(1,0),此抛物线的准线方程为x=-1,图象如图所示.故圆的圆心为(-1,y),其半径为1,因为∠FAC=120°,∠CAO=90°,所以∠FAO=120°-90°=30°,故y==.即该圆的圆心坐标为(-1,),故此圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.答案:(x+1)2+(y-)2=1二、简答题3.(2017·全国乙卷文科·T20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率.(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.【命题意图】本题以抛物线为命题载体,考查直线与圆锥曲线位置关系的解题策略.【解析】(1)设A,B,则kAB====1.(2)设M,则C在M处的切线斜率k=kAB=y'=x0=1,所以x0=2,则M,又AM⊥BM,kAM·kBM=·=·===-1,即x1x2+2+20=0,又设AB:y=x+m代入x2=4y,得x2-4x-4m=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4m,-4m+8+20=0,所以m=7,所以直线AB的方程为y=x+7.4.(2017·全国丙卷·理科·T20)(12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上.(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.【解析】(1)a1当直线l⊥x轴时,将x=2代入y2=2x得y=±2,故|AB|=4,圆的半径为2,故原点O在圆M上,b.当直线l不垂直于x轴时,设AB的方程为y=k(x-2)①,因为抛物线C的方程为y2=2x②,联立①②得,k2x2-(4k2+2)x+4k2=0,设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=③,x1x2=4④,则·=x1·x2+y1·y2=x1·x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1·x2-2k2(x1+x2)+4k2⑤将③④代入⑤得·=4(1+k2)-2(4k2+2)+4k2=0,故OA⊥OB,又因为AB为直径,所以原点O在圆M上.(2)若斜率k不存在时,则圆M不经过P(4,-2),故斜率k存在.因为圆M过点P(4,-2),所以PA⊥PB,即·=0.将点P,A,B的坐标代入得(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x2x2+y1y2-4(x1+x2)+2(y1+y2)+20=0⑥,由于y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k(x1+x2)-4k,利用(1)中的结论及式③化简⑥式得k2+k-2=0,解得k=-2或k=1.所以当k=-2时,直线l的方程为y=-2(x-2),x1+x2=,所以点M的横坐标为x0=,将x0=代入直线l的方程y=-2(x-2)得纵坐标y0=-,所以点M,所以|MP|==,所以圆M的方程为=.当k=1时,直线l的方程为y=x-2,x1+x2=6,所以点M的横坐标为x0=3,将x0=3代入直线l的方程得纵坐标y0=1,所以点M(3,1),所以|MP|==,所以圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.所以当k=-2时,直线l的方程为y=-2(x-2),圆M的方程为=;当k=1,直线l的方程为y=x-2,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.5.(2017·全国丙卷·文科·T20)(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由.(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【解析】(1)设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x2+mx-2=0的根,所以x1+x2=-m,x1x2=-2,则·=(-x1,1)·(-x2,1)=x1x2+1=-2+1=-1≠0,所以不会出现AC⊥BC的情况.(2)方法一:过A,B,C三点的圆的圆心必在线段AB的垂直平分线上,设圆心E(x0,y0),则x0==-,由|EA|=|EC|得=+,化简得y0==-,所以圆E的方程为+=+,令x=0得y1=1,y2=-2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为1-(-2)=3,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.方法二:设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,由x1x2=-2可知原点O在圆内,由相交弦定理可得|OD||OC|=|OA||OB|=|x1||x2|=2,又|OC|=1,所以|OD|=2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值.6.(2017...
