6.2.3向量的数乘运算课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下面四种说法,其中正确的是()A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mbB.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-naC.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=bD.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n解析由数乘向量运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.答案AB2.(2020江苏高一检测)在△ABC中,M是BC的中点.若=a,=b,则=()A.(a+b)B.(a-b)C.a+bD.a+b解析在△ABC中,M是BC的中点,又=a,=b,所以=a+b,故选D.答案D3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线解析∵向量=2a+4b,=a+2b,∴=2,即A,B,D三点共线.答案A4.已知在△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹经过△ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心解析设D为BC中点,则=2,∴=2λ,即点P在中线AD所在直线上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.答案D5.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是.解析由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.答案等腰梯形6.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为.解析由向量共线可得a+λb=k(b-3a),即a+λb=kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b.∵a,b不共线,∴解得λ=-.答案-7.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.(1)用a,b分别表示向量;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解∵)=(a+b),∴(a+b).∵b,∴=-a+b.(2)证明由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=,∴.∴共线.又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.8.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=a+b.∴y=3x-b=3-b=a-b.能力提升练1.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足=0,若实数λ满足=λ,则λ的值为()A.2B.C.3D.6解析-2.又=0,即=-,∴=-3=λ=-λ,∴λ=3.答案C2.(多选题)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个选项中正确的是()A.GH=2OGB.=0C.AH=2ODD.S△ABG=S△BCG=S△ACG解析在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示.对于B,根据三角形的重心性质得=0,选项B正确;对于A,C,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴=2,∴GH=2OG,AH=2OD,选项A,C正确;对于D,过点G作GE⊥BC,垂足为E,∴△DEG∽△DNA,则,∴△BGC的面积为S△BGC=×BC×GE=×BC××AN=S△ABC;同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,选项D正确.答案ABCD3.在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=.解析由平面向量的加法运算,有.因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ=.所以,即1--μ=λ+-1.∵不共线,∴解得故λ+μ=.答案4.(2019浙江高一期中)已知点M是△ABC所在平面内的一点,若满足6-2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是.解析记2.∵+2-2=0,∴=2,S△ABC=S△ABN.又S△ABM=S△ABN,∴S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.答案35.已知在△OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.(1)用向量a与b表示向量;(2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由.解(1)∵=a,=b,点A是BC的中点,∴=-a.∴=-a-b.(2)C,D,E不共线.理由如下,假设存在实数λ,使=λ.∵=a+b+(-b)=a+b,)=2a+(-a+b)=a+b,∴a+b=λ,∴此方程组无解,∴不存在实数λ,满足=λ.∴C,D,E三点不共线.6.在△ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值.解∵,∴3=2,即2-2.∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.∵A,M,Q三点共线,∴设=x+(1-x)+(x-1),又,∴.又,且=t,∴=t.∴解得t=.素养培优练(2020河南西华高一检测)如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示.解因为=b-a,(b-a),所以a+b.因为(a+b),所以(a+b),所以(a+b)-b=a-b.
