高考解题技术(4)巧用数列中项1.巧用等差中项【题1】(2010·全国II卷第4题)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2++a7=()A.14B.21C.28D.35【解析】注意到4是3和5的平均数,则由等差数列的性质可知a3+a5=2a4,又a3+a4+a5=12,从而有3a4=12,解之得a4=4,同样地,4也是1和7、2和6的平均数,从而有a1+a7=a2+a6=2a4,所以=,故选C.评注:无论是第3,4,5项,还是前7项,它们的中项都是第4项,抓住了第4项,也就抓住了本题的根.【题2】(2013·广东卷第12题)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=_____.【解析】因为5=,则由等差数列的性质可知2a5=a4+a6,从而有3a5+a7=a4+a5+a6+a7,同样地,因为5+6=4+7=3+8,于是有a1+a9=a2+a8=a3+a7,所以3a5+a7=a4+a5+a6+a7=2(a3+a8)=20.评注:进一步,我们可以将等差、等比数列性质中的项数由2项推广为3项,甚至更多,从而得到:等差数列{an}中任意项数之和相等的m项之和相等,其中mN*且m2.【题3】(2009·海南卷·文第16题)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am1+am+1am2=0,S2m1=38,则m=()A.38B.20C.10D.9【解析】因为m为m1和m+1的平均数,则由等差数列的性质可知am1+am+1=2am,又am1+am+1am2=0,从而有2amam2=0,解之得am=2,或am=0同样地,m也是1和2m1的平均数,而S2m1=38,所以==38,若am=0,则不成立,于是有am=2,即(2m1)×2=38,解之得m=10,故选C.评注:利用数列的中项解题时,要充分挖掘项数之间的平均关系,此题就是很好的一例.2.巧用等比中项【题4】(2009·广东卷·文第5题)已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2a52,a2=1,则a1=()A.B.C.D.2【解析】考虑到3和9的平均数为6,则由等比数列性质可知a3a9=a62,而由题意a3a9=2a52,可知2a52=a62,则.因为等比数列{an}的公比为正数,从而可求得数列{an}的公比为,1又a2=1,所以a1==,故选B.评注:由等比数列项数之间的平均关系,可先找出a5与a6之间的关系,求出公比后即可求出a1.【题5】(2009·广东卷第4题)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,,且a5a2n5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3++log2a2n1=()A.n(2n1)B.(n+1)2C.n2D.(n1)2【解析】5和2n5的平均数为n,则由等比数列性质可知a5a2n5=an2(n3),而a5a2n5=22n,于是有an2=22n,又an>0,从而有an=2n,所以当n1时,log2a1+log2a3++log2a2n1=1+3++(2n1)=n2,故选C.评注:利用等比中项求出an后,复杂的式子log2a1+log2a3++log2a2n1便可化简,问题也就迎刃而解.(此文摘自《高中数学题根》7.中项,向平均寻根)2