高考数学 解题技术（4）巧用数列中项-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考解题技术（4）巧用数列中项1.巧用等差中项【题1】（2010·全国II卷第4题）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2++a7=（）A．14B．21C．28D．35【解析】注意到4是3和5的平均数，则由等差数列的性质可知a3+a5=2a4，又a3+a4+a5=12，从而有3a4=12，解之得a4=4，同样地，4也是1和7、2和6的平均数，从而有a1+a7=a2+a6=2a4，所以=，故选C．评注：无论是第3，4，5项，还是前7项，它们的中项都是第4项，抓住了第4项，也就抓住了本题的根．【题2】（2013·广东卷第12题）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=_____.【解析】因为5=，则由等差数列的性质可知2a5=a4+a6，从而有3a5+a7=a4+a5+a6+a7，同样地，因为5+6=4+7=3+8，于是有a1+a9=a2+a8=a3+a7，所以3a5+a7=a4+a5+a6+a7=2(a3+a8)=20．评注：进一步，我们可以将等差、等比数列性质中的项数由2项推广为3项，甚至更多，从而得到：等差数列{an}中任意项数之和相等的m项之和相等，其中mN*且m2．【题3】（2009·海南卷·文第16题）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am1+am+1am2=0，S2m1=38，则m=（）A．38B．20C．10D．9【解析】因为m为m1和m+1的平均数，则由等差数列的性质可知am1+am+1=2am，又am1+am+1am2=0，从而有2amam2=0，解之得am=2，或am=0同样地，m也是1和2m1的平均数，而S2m1=38，所以==38，若am=0，则不成立，于是有am=2，即(2m1)×2=38，解之得m=10，故选C．评注：利用数列的中项解题时，要充分挖掘项数之间的平均关系，此题就是很好的一例．2.巧用等比中项【题4】（2009·广东卷·文第5题）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2【解析】考虑到3和9的平均数为6，则由等比数列性质可知a3a9=a62，而由题意a3a9=2a52，可知2a52=a62，则.因为等比数列{an}的公比为正数，从而可求得数列{an}的公比为，1又a2=1，所以a1==，故选B．评注：由等比数列项数之间的平均关系，可先找出a5与a6之间的关系，求出公比后即可求出a1．【题5】（2009·广东卷第4题）已知等比数列{an}满足an>0，n=1，2，，且a5a2n5=22n（n3），则当n1时，log2a1+log2a3++log2a2n1=（）A．n(2n1)B．(n+1)2C．n2D．(n1)2【解析】5和2n5的平均数为n，则由等比数列性质可知a5a2n5=an2（n3），而a5a2n5=22n，于是有an2=22n，又an>0，从而有an=2n，所以当n1时，log2a1+log2a3++log2a2n1=1+3++(2n1)=n2，故选C．评注：利用等比中项求出an后，复杂的式子log2a1+log2a3++log2a2n1便可化简，问题也就迎刃而解．（此文摘自《高中数学题根》7.中项,向平均寻根）2