第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝rad；②1rad＝°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝lr＝|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosα叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[常用结论与易错提醒]1.象限角2.轴线角诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)若α∈，则tanα＞α＞sinα.()(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()解析(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角.(3)顺时针旋转得到的角是负角.(5)终边相同的角不一定相等.答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2.角－870°的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限.答案C3.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋π(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋(k∈Z)解析与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确.答案C4.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝()A.B.C.－D.－解析 角α的终边经过点(－4，3)，∴x＝－4，y＝3，r＝5.∴cosα＝＝－，故选D.答案D5.(必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.解析该弦与两条半径构成等边三角形，故圆心角为60°，即.答案6.弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________.解析135°＝135×＝(弧度)，由α＝，得r＝＝＝4，S扇形＝lr＝×4×3π＝6π.答案46π考点一角的概念及其集合表示【例1】(1)若角α是第二象限角，则是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.解析(1) α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.答案(1)C(2)规律方法(1)利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.【训练1】(1)(一题多解)设集合M＝，N＝，那么()A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N＝∅(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析(1)法一由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.法二由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.(2)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α...
