课时限时检测(三十一)等比数列(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难等比数列的判定4等比数量基本量运算2,810等比数列的性质1,711综合应用35,6,912一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于()A．50B．70C．80D．90【解析】 S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴S3·(S9－S6)＝(S6－S3)2，又S3＝40，S6＝40＋20＝60，∴40(S9－60)＝202，故S9＝70.【答案】B2．(2014·济南一中等四校联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．5B．7C．6D．4【解析】设数列{an}的公比是q，则有＝＝q9，所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)×(a7a8a9)＝5×10＝50，则a4a5a6＝5.【答案】A3．(2013·课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an【解析】法一在等比数列{an}中，Sn＝＝＝3－2an.法二在等比数列{an}中，a1＝1，q＝，∴an＝1×n－1＝n－1.Sn＝＝3＝3＝3－2an.【答案】D4．(2014·福州模拟)已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“a＝anan＋2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若n∈N*时，an，an＋1，an＋2成等比数列，则a＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例．如数列为1,0,0,0，…，应选A.【答案】A5．(2014·潍坊模拟)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且为a4与2a7的等差中项，则S5＝()A．35B．331C．31D．29【解析】设数列{an}的公比为q，a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1⇒a4＝2.a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×⇒q＝，故a1＝＝16，S5＝＝31.【答案】C6．(2014·青岛期中)在正项等比数列{an}中，lga3＋lga6＋lga9＝6，则a1a11的值是()A．10000B．1000C．100D．10【解析】若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，所以lga3＋lga6＋lga9＝lg(a3·a6·a9)＝lga＝3lga6＝6，所以a6＝102，而a1a11＝a＝104＝10000.故选A.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.【解析】 数列{an}为等比数列，∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.∴a1aa5＝a＝.【答案】8．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.【解析】 an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an，∴q2＋q－6＝0，又q＞0，∴q＝2，由a2＝a1q＝1得a1＝，∴S4＝＝.【答案】9．(2012·浙江高考)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.【解析】法一S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0，解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．法二设等比数列{an}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，得a1(1＋q)＝3a1q＋2.①由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)． q>0，∴q＝.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·重庆高考)设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋.(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.【解】(1)由题意知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)．2(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，所以公差d＝5，故T20＝20×3＋×5＝1010.11．(12分)(2014·贵阳模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．【解】(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q＞0，故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.故＝－＝－2，＋＋…＋＝－2＝－.所以数列的前n项和为－.12．(13分)(2014·南京模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－...
