高考数学复习点拨 一道几何概率题衍变新人教A版VIP免费

一道几何概率题的衍变本文多角度的对一道几何概型问题进行衍变、设问、分析、思考,目的让大家感悟和加深对几何概型的理解和应用,提高分析解决问题的能力.题目:向半径为1的圆内投掷一点,求此点落在圆内接正三角形的概率.解:记“点落在圆内接正三角形”为事件D,∵点随机的落入⊙O内,∴⊙O为所有实验结果构成的区域,事件D构成的区域为正ABC.如图1,在正ABC内,作ACBE,连结OC.∵⊙O的半径1r,1OBOC,又∵ABC是正三角形,∴21OE,23BE,又,3,23ACACBE,43321ACBESABC⊙O的面积S,由几何概率公式得433)(SSDPABC.点评:解决几何概型问题的关键是根据几何概型问题的实际背景准确找出事件的几何度量.然后利用几何概型公式求出.衍变1.过半径为1的圆内一条直径上任意一点作垂直于直径的弦,求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率.解:记事件={弦长超过圆内接等边三角形的边长}.如图2,∵点随机落在直径上,∴不妨设过等边ABC的顶点B的直径BE为所有实验结果构成的区域.在直径BE上任取一点作垂直直径的弦,当弦为CA时即边长,若弦长大于CA长,则圆心O到弦的距离小于|OF|,由正三角形的性质可知21||OF.根据几何概率公式得,212)(OEOFBEOFP故弦长超过圆内接等边三角形边长的概率21.点评:处理此类问题,判断基本事件应从“等可能”的角度入手,选择好观察角度是关键.衍变2.在半径为1的圆上随机地取两点,连成一条弦,求其弦长超过圆内接正三角形边长的概率.解:记“弦长超过圆内接正三角形的边长”为事件A,如图3,在半径为1的⊙O内作正BCD,取BCD的顶点B为弦的一个顶点,当另一个顶点在劣弧DC上时,BCBE,而劣弧DC的长是周长的31.由几何概率公式得弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为.31)(AP点评:解这类问题的关键是选准观察角度,把总的基本事件及事件A转化为与之对应的几何区域.衍变3.以半径为1的圆内任意一点为中点作弦,求弦长超过圆内接正三角形边长的概率.解:记“弦长超过圆内接正三角形的边长”为事件A,如图4,作等边BCD的内切圆,当以小圆上的任意一点作弦时弦长等于等边三角形的边长.若弦长超过内接三角形边长,则弦的中点必在小圆内,由平面几何知识可知用心爱心专心1图EBACOBACOEF2图OBDCE3图OBDC4图小圆半径为21,故所求概率为.411)21()(22AP点评:“面积比”是求几何概率的一种重要类型,许多几何概型问题常与面积结合.衍变4.设A为圆周上一定点,在圆周上等可能的任取一点与A连结,求弦长超过半径3倍的概率.解:记“弦长超过半径3倍”为事件D.如图5,在⊙O上有一定点A,任取一点B与A连结,当弦长等于半径3倍时,∵AE是直径,∴,90ABE由直角三角形的边角关系得60E,∴120AOB,若弦长超过半径3倍,则事件D所表示的范围是]240,120[AOB,∵任意点B随机落在圆周上,∴总的基本事件的空间为31360120240)(,360DP.点评:“角度比”也是求几何概型的基本方法,注意以上几例的比较,加深对几何概型问题的理解,以不变应万变.用心爱心专心BACOE5图