第二课时利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号利用导数研究函数极值1,3,4,8,9,10利用导数研究函数最值2,5,7,12利用导数研究函数极值、最值的综合应用6,11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示.则(C)(A)1是最小值点(B)0是极小值点(C)2是极小值点(D)函数f(x)在(1,2)上单调递增解析:由题干图象得f(x)在(-∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增,所以2是极小值点,故选C.2.函数y=xe-x,x∈[0,4]的最小值为(A)(A)0(B)(C)(D)解析:f′(x)=,当x∈[0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,4]时,f′(x)<0,f(x)单调递减,因为f(0)=0,f(4)=>0,所以当x=0时,f(x)有最小值,且最小值为0.故选A.3.(2017·湖南永州二模)函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a的值为(C)(A)-1(B)0(C)1(D)e解析:f′(x)=aex-cosx,若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则f′(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意,故选C.4.(2017·四川达州模拟)函数f(x)=x3+x2+5ax-1存在极值点的充要条件是(C)1(A)a≤(B)a<(C)a≥(D)a>解析:求得导函数f′(x)=3x2+2x+5a,三次函数f(x)有极值,则f′(x)=0有不相等的两个解,所以Δ=4-60a>0,所以a<,故选C.5.(2017·天津和平区模拟)函数f(x)=2x3+9x2-2在区间[-4,2]上的最大值和最小值分别为(C)(A)25,-2(B)50,14(C)50,-2(D)50,-14解析:因为函数f(x)=2x3+9x2-2,所以f′(x)=6x2+18x,当x∈[-4,-3),或x∈(0,2]时,f′(x)>0,函数为增函数;当x∈(-3,0)时,f′(x)<0,函数为减函数;由f(-4)=14,f(-3)=25,f(0)=-2,f(2)=50,故函数f(x)=2x3+9x2-2在区间[-4,2]上的最大值和最小值分别为50,-2,故选C.6.(2017·泉州一模)函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0≤x≤1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是(C)(A)a≤0(B)0≤a≤(C)a≤(D)a≤1解析:f′(x)=3ax2+2(a-1)x-1,x∈[0,1],a=0时,f′(x)=-2x-1<0,f(x)在[0,1]递减,f(x)min=f(1)符合题意,a≠0时,Δ=4(a2+a+1)>0,x1=,x2=,a>0时,若f(x)在x=1处取最小值,只需x1≤0且x2≥1,解得0
0,解得≤x<1,令f′(x)<0,解得10,所以(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得a<-3或a>6.故选D.10.(2017·全国Ⅱ卷)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(A)(A)-1(B)-2e-3(C)5e-3(D)1解析:f′(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·ex-1则f′(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0得a=-1,则f(x)=(x2-x-1)·ex-1,f′(x)=(x2+x-2)·ex-1,令f′(x)=0,得x=-2或x=1,当x<-2或x>1时,f′(x)>0,当-20,函数是增函数,函数的最小值为f(1)=1,F()=-1+e,f(e)=1+.函数的最大值为-1+e.因为关于x的方程xlnx-kx+1=0在区间[,e]上有两个不等实根,则实数k的取值范围是(1,1+].答案:(1,1+]312.(2017·河南洛阳...
