6.2.1向量的加法运算[A基础达标]1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB等于()A.ABB.BCC.CDD.DA解析：选A.因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB＝AC＋CB＝AB.故选A.2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则OA＋BC＋AB＋DO＝()A.CDB.DCC.DAD.DO解析：选B.OA＋BC＋AB＋DO＝DO＋OA＋AB＋BC＝DA＋AB＋BC＝DB＋BC＝DC.3．若向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行km”，则向量a＋b表示()A．向东北方向航行2kmB．向北偏东30°方向航行2kmC．向北偏东60°方向航行2kmD．向东北方向航行(1＋)km解析：选B.如图，易知tanα＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2km，故选B.4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于()A．1B．2C．3D．2解析：选B.由正六边形知FE＝BC，所以AB＋FE＋CD＝AB＋BC＋CD＝AD，所以|AB＋FE＋CD|＝|AD|＝2.故选B.5．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是()A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向C．若a与b同向，则a＋b与a同向D．若a与b同向，则a＋b与b同向解析：选B.a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．6．化简(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝________．解析：原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＋BC＝AO＋OB＋BC＝AB＋BC＝AC.答案：AC7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝1，则|BC＋CD|＝________．解析：在菱形ABCD中，连接BD，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，又因为|AB|＝1，所以|BD|＝1，所以|BC＋CD|＝|BD|＝1.答案：18．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，给出下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是________．解析：因为在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．答案：①③9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD的形状：(1)AD＝BC；(2)AB＝DC且|AB|＝|AD|.解：(1)因为AD＝BC，所以AD∥BC，AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．(2)因为AB＝DC且|AB|＝|AD|，所以四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD是菱形．10．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.解：如图，因为|OA|＝|OB|＝3，所以四边形OACB为菱形，连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D.因为∠AOB＝60°，所以AB＝|OA|＝3.所以在Rt△BDC中，CD＝.所以|OC|＝|a＋b|＝×2＝3.[B能力提升]11．已知有向线段AB，CD不平行，则()A．|AB＋CD|>|AB|B．|AB＋CD|≥|CD|C．|AB＋CD|≥|AB|＋|CD|D．|AB＋CD|<|AB|＋|CD|解析：选D.由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号当且仅当a，b共线的时候取到，所以本题中，|AB＋CD|<|AB|＋|CD|.12．若P为△ABC的外心，且PA＋PB＝PC，则∠ACB＝______.解析：因为PA＋PB＝PC，则四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，所以|PA|＝|PB|＝|PC|.因此∠ACB＝120°.答案：120°13．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是________．①|AB＋AC|＝|BC|；②|AB＋CA|＝|BC|；③|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.解析：①正确．以AB，AC为邻边作▱ABDC，又∠A＝90°，所以▱ABDC为矩形，所以AD＝BC，所以|AB＋AC|＝|AD|＝|BC|.②正确．|AB＋CA|＝|CB|＝|BC|.③正确．由勾股定理知|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.答案：①②③14．如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d；(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝e，则a＋e＝OA＋AB＝OB，因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，|OB|即|a＋e|最大，最大值是3.[C拓展探究]15．如图，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？解：如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.设向量OA，OB分别表示两根绳子的拉力，则CO表示物体所受的重力，且|OC|＝300N.所以|OA|＝|OC|cos30°＝150(N)，|OB|＝|OC|cos60°＝150(N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.
