一题多解以点带面吴传叶新课标要求培养大家浓厚的学习兴趣，顽强的学习毅力，实事求是的科学态度，独立思考、勇于创新的精神和学习习惯．为此本文整理了一道立体几何题的五种证法，供广大读者参考．题目：如图1所示的空间图形中，已知四边形ABB1A1、ACC1A1、BCC1B1均为矩形，E、F分别是AB1、BC1的中点，求证：EF∥面ABC．证法一：连接B1C（如图2），因为四边形BCC1B1为矩形，F是BC1的中点，所以B1C过点F，且F是B1C的中点．E是AB1的中点，在△AB1C中，EF∥AC．又EF面ABC，AC面ABC，所以EF∥面ABC．证法二：∵四边形BCC1B1为矩形，E是AB1的中点，∴连接A1B（如图3），A1B过点E，且E是A1B的中点．由F是BC1的中点，所以在△A1BC1中，EF∥A1C1．在矩形ACC1A1中，AC∥A1C1，所以EF∥AC．又EF面ABC，AC面ABC，故EF∥面ABC．点评：证法一和证法二都利用了线面平行的判定定理，两者都通过添加辅助线，证明EF∥AC．后者还利用了平行线的传递性，从而得证．相比之下证法一较简捷．证法三：设M、N分别是AB、BC的中点，连接EM、FN、MN（如图4）．∵E、F分别为AB1、BC1的中点，∴EMBB1，FNBB1．从而EMFN，四边形EMNF为平行四边形．∴EF∥MN．又EF面ABC，MN面ABC，可得EF∥面ABC．点评：证法三仍然利用了线面平行的判定定理，通过取AB的中点M，BC的中点N，证明四边形EMNF为平行四边形，从而利用EF∥MN得证．证法四：取BB1的中点G，连接EG、FG（如图5）．因E、G分别为AB1、BB1的中点，所以EG∥AB．又EG面ABC，AB面ABC，所以EG∥平面ABC．同理可证：FG∥面ABC．又EG∩FG=G，所以面EFG∥面ABC．又EF面EFG，所以EF∥面ABC．证法五：取AC1的中点G，连接EG、FG（如图6）．因E、G分别为AB1、AC1的中点，所以EG∥B1C1．在矩形BCC1B1中，BC∥B1C1，知EG∥BC．又EG面ABC，BC面ABC，所以EG∥面ABC，同理可证：FG∥面ABC．又EG∩FG=G，知面EFG∥面ABC．又EF面EFG，所以EF∥面ABC．点评：证法四和证法五都利用了面面平行的性质定理，证明了EF所在的平面EFG∥平面ABC，从而得证．作为普通的立体几何题，只要善于从不同的角度思考，总能找到不同的解决办法，这不仅能挖掘潜力，提高应变能力，同时还能对所学的数学知识作系统全面的复习．
