第三节二项式定理【最新考纲】会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.2．二项式系数的性质3.二项式各项系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n．1(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30B．20C．15D．10解析：因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.答案：C3．(2015·陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A．7B．6C．5D．4解析：(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C＋Cx2＋…＋Cxn依题意，得C＝15，解得n＝6(n＝－5舍去)．答案：B4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为()A．1B．129C．128D．127解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋a7＝128.令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝129.答案：B5．(2016·衡水质检)在的展开式中，各项的二项式系数和为256，则展开式中常数项是2________．解析：依题意，得2n＝256，∴n＝8则展开式的通项Tk＋1＝C(－1)kx8－k，令8－k＝0，则k＝6，因此展开式中的常数项T7＝C＝7.答案：7一个定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项公式Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．一点注意切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分；前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．两类应用1．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．2．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．一、选择题1．(2015·广东卷改编)在(－1)4的展开式中，x的系数为()A．6B．－6C．4D．－4解析：Tr＋1＝C·()4－r·(－1)r.令r＝2，则C24(－1)2＝6.答案：A2．(2016·江西八校联考)若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋3a7的值是()A．－2B．－3C．125D．－131解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2.又a0＝C(－1)020＝1，a8＝C(－2)7＝－128.所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125.答案：C3．若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝()A．2B.C．1D.解析：Tr＋1＝C·(2x)7－r·＝27－rCar·，令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1.答案：C4．二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A．180B．90C．45D．360解析：依题意，n＝10.则的通项公式Tr＋1＝C()10－r＝2rCx5－r令5－r＝0，得r＝2.∴展开式中的常数项T3＝22C＝180.答案：A5．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于()A．63B．64C．31D．32解析：逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.答案：A6．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45B．60C．120D．210解析：在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)4＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.答案：C二、填空题7．(2015·天津卷)在的展开式中，x2的系数为________．解析：设通项为Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6...
