第四章第2节平面向量的基本定理及坐标表示[基础训练组]一、选择题1．(导学号14577385)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)解析：B[BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．]2．(导学号14577386)已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为()A．4B．8C．0D．2解析：A[a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由已知(a－2b)∥(2a＋b)，显然2a＋b≠0，故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，∴⇒x＝4(x＞0)．]3．(导学号14577387)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析：D[设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．]4．(导学号14577388)已知向量AC，AD和AB在正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋μAD，则λμ＝()A．－3B．3C．－4D．4解析：A[建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则AC＝(2，－2)，AB＝(1,2)，AD＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ＝－3.故选A.]5．(导学号14577389)(2017·高考全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为()A．3B．2C.D．2解析：A[如图，建立平面直角坐标系设A(0,1)，B(0,0)，D(2,1)，P(x，y)根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是(x－2)2＋y2＝AP＝(x，y－1)，AB＝(0，－1)，AD＝(2,0)，若满足AP＝λAB＋μAD即，μ＝，λ＝1－y，所以λ＋μ＝－y＋1，设z＝－y＋1，即－y＋1－z＝0，点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝上，所以圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故选A.]6．(导学号14577390)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝_______.解析：因为向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，所以12＝－2m，解得m＝－6.答案：－67．(导学号14577391)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，则实数a＝________.解析：设C(x，y)，则AC＝(x－7，y－1)，CB＝(1－x,4－y). AC＝2CB，∴，解得.∴C(3,3)．又 C在直线y＝ax上，∴3＝a·3，∴a＝2.答案：28．(导学号14577392)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.解析：因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，＝，结合余弦定理知，cosC＝，又0°
