湖南省新田一中高一数学 一元二次方程根与系数的关系培训练习VIP免费

一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有[1]当Δ0时，方程有两个不相等的实数根：；[2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：；[3]当Δ0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．【例题选讲】例1已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．例2已知实数、满足，试求、的值．1例3若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．例4已知是一元二次方程的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(2)求使的值为整数的实数的整数值．解：(1)假设存在实数，使成立． 一元二次方程的两个实数根，∴，又是一元二次方程的两个实数根，∴∴，但．∴不存在实数，使成立．(2) ∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．【巩固练习】21．若是方程的两个根，则的值为()A．B．C．D．2．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是()A．B．C．D．大小关系不能确定3．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．4．已知实数满足，则=_____，=_____，=_____．5．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实数根．6．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．(1)求实数的取值范围；(2)若，求的值．★专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】1．平面直角坐标系[1]组成平面直角坐标系。叫做轴或横轴，叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点。3[2]平面直角坐标系内的对称点：对称点或对称直线方程对称点的坐标轴轴原点点直线直线直线直线2．函数图象[1]一次函数：称是的一次函数，记为：(k、b是常数，k≠0)特别的，当=0时，称是的正比例函数。[2]正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而．[3]一次函数的图象与性质：函数(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.设(k≠0)，则当时，y随x的增大而；当时，y随x的增大而．[4]反比例函数的图象与性质：函数(k≠0)是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点．【例题选讲】4例1已知、，根据下列条件，求出、点坐标．(1)、关于x轴对称；(2)、关于y轴对称；(3)、关于原点对称．例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。例3如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．解：（1）在的图象上，，又在的图象上，，即，解得：，，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，（2）从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象...