考点规范练63数学归纳法考点规范练A册第44页基础巩固组1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2n>n3,那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()A.1B.9C.10D.n>10,且n∈N+答案:C解析:210=1024>103.故选C.3.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,n∈N+,能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1(k∈N+)时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3答案:A解析:假设n=k(k∈N+)时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.4.用数学归纳法证明1+2+3+…+3n=的过程中,由n=k递推到n=k+1时,等式左边增加的项为()A.3k+1B.(3k+1)+(3k+2)C.3k+3D.(3k+1)+(3k+2)+(3k+3)答案:D解析:n=k时,左边=1+2+3+…+3k,n=k+1时,左边=1+2+3+…+3k+(3k+1)+(3k+2)+(3k+3).比较两式,从而等式左边应添加的式子是(3k+1)+(3k+2)+(3k+3),故选D.5.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2答案:C解析:边数增加1,顶点也相应增加1个,它与它不相邻的(n-2)个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n-1)条.故选C.6.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N+)命题为真时,进而需证当n=时,命题亦真.答案:2k+1解析:因为n为正奇数,所以与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1.7.设S1=12,S2=12+22+12,……,Sn=12+22+32+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12(n∈N+),用数学归纳法证明Sn=(n∈N+)时,第二步从“k”到“k+1”应添加的项为.答案:(k+1)2+k2解析:由S1,S2,…,Sn可以发现由n=k到n=k+1时,中间增加了两项(k+1)2+k2(n,k∈N+).8.(2015江西九江模拟)已知f(n)=1++…+(n∈N+),经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为.答案:f(2n)>(n≥2,n∈N+)解析:因为f(22)>,f(23)>,f(24)>,f(25)>,所以当n≥2时,有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2,n∈N+).9.由下列不等式:1>,1+>1,1++…+,1++…+>2,…,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.解:一般结论:1++…+(n∈N+),证明如下:(1)当n=1时,由题设条件知命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时猜想成立,即1++…+.当n=k+1时,1++…++…++…++…+.∴当n=k+1时不等式成立.根据(1)和(2)可知猜想对任何n∈N+都成立.能力提升组10.(2015陕西延安模拟)利用数学归纳法证明不等式1++…+0,n∈N+.(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.(1)解:当n=1时,由已知得a1=-1,+2a1-2=0.∴a1=-1(舍去负根).当n=2时,由已知得a1+a2=-1,将a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.∴a2=(舍去负根).同理可得a3=.猜想an=(n∈N+).(2)证明:①由(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成立.②假设当n=k(k≥3,k∈N+)时,通项公式成立,即ak=.由于ak+1=Sk+1-Sk=,将ak=代入上式,整理得+2ak+1-2=0,∴ak+1=,即n=k+1时,通项公式成立.由①②可知对所有n∈N+,an=都成立.导学号〚92950598〛14.(2015江西景德镇模拟)已知函数f(x)=x3,g(x)=x+.(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由.(2)设数列{an}(n∈N+)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的n∈N+,都有an≤M.解:(1)由h(x)=x3-x-知,x∈[0,+∞),而h...
