6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例课后篇巩固提升基础达标练1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=()A.-B.C.0D.解析如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC为的夹角,∴cos∠BDC=.答案B2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为()A.40NB.10NC.20ND.N解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10N.答案B3.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为()A.10m/sB.2m/sC.4m/sD.12m/s解析由题意知|v水|=2m/s,|v船|=10m/s,作出示意图如图.∴|v|==2(m/s).答案B4.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论错误的是()A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点解析由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点.答案ABC5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x=.解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.答案6.一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为50m,且力F所做的功W=250J,则F与s的夹角等于.解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cosθ,∴cosθ=.又θ∈[0,π],∴θ=.答案7.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.证明=()·()====-|2+|2.因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE.8.某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.解设v1表示20km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.如图,令=-v1,=-2v1,实际风速为v. ,∴=v-v1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度. ,∴=v-2v1.这就是当车的速度为40km/h时,骑车人感觉到的风速.由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=BC.∴|v|=20km/h.∴实际风速的大小是20km/h,为东南风.能力提升练1.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为()A.-B.C.-D.解析因为3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24+16=25.因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1.代入原式得=0,所以=-(3+4)·()=-(3+4-3-4)=-.答案A2.(2020武汉检测)O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点,若()·()=()·()=0,则O为△ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解析因为()·()=0,则()·()=0,所以=0,所以||=||.同理可得||=||,即||=||=||,所以O为△ABC的外心.答案B3.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是()A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变解析设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ0<θ<,则|F|cosθ=|f|,∴|F|=. θ增大,cosθ减小,∴|F|增大. |F|sinθ增大,∴船的浮力减小.答案AC4.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8km,则河水的流速是km/h.解析如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,||=4,||=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan60°=2.即河水的流速是2km/h.答案25.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建...
